Calculadora de octágono

¿Qué es una calculadora de octágono?

La calculadora de octágono es una herramienta única que describe un octágono regular: la figura de ocho lados con lados y ángulos iguales, el mismo contorno que una señal de stop. Introduce una medida y devuelve todas las demás magnitudes a la vez: la longitud del lado, el área, el perímetro, las tres diagonales, el radio circunscrito y el radio inscrito. Es útil para estudiantes que revisan tareas de geometría, para fabricantes que cortan un marco octagonal o una mesa, y para cualquiera que trace un cenador, un patrón de pavimento o una señal.

Propiedades de un octágono regular

Un octágono regular tiene ocho lados iguales y ocho ángulos interiores de 135 grados cada uno. Como los ocho vértices no están todos a la misma distancia, un octágono tiene tres diagonales distintas en lugar de las dos de un hexágono:

• Diagonal más larga une dos vértices opuestos y pasa por el centro; es el ancho total de la figura.
• Diagonal media une dos vértices con dos vértices entre ellos.
• Diagonal más corta une dos vértices que se saltan un solo vértice.

El radio circunscrito es la distancia desde el centro hasta cualquier esquina, y el radio inscrito (también llamado apotema) es la distancia desde el centro hasta el punto medio de cualquier lado.

¿Cómo funciona la calculadora?

Escribe un valor en cualquier campo y la calculadora primero recupera la longitud del lado a partir de él y luego completa todas las propiedades restantes. Así puedes empezar por el lado, el área, el perímetro, cualquiera de las tres diagonales, el radio circunscrito o el radio inscrito, y siempre obtendrás una descripción completa del octágono. Cada campo de longitud acepta diferentes unidades, y las conversiones entre ellas se realizan automáticamente.

Fórmulas

Con longitud del lado $a$, el área de un octágono regular es:

El perímetro es ocho veces el lado:

Las tres diagonales —la más larga $D$, la media $M$ y la más corta $d$— son:

El radio circunscrito $R$ es la mitad de la diagonal más larga, y el radio inscrito $r$ (la apotema) es la mitad de la diagonal media:

donde $A$ es el área, $P$ el perímetro, $D$, $M$ y $d$ las diagonales más larga, media y más corta, $R$ el radio circunscrito, $r$ el radio inscrito y $a$ la longitud del lado.

Ejemplos

1. Un octágono regular con un lado de 5 cm:

2. Trabajando hacia atrás a partir de un perímetro de 40 cm, el lado es $40 / 8 = 5$ cm, lo que reproduce todos los valores anteriores.

Notas prácticas

• La diagonal más larga es la extensión total a lo largo de un octágono de lados planos, por lo que es el diámetro del círculo más pequeño que contiene la figura; el radio circunscrito es exactamente la mitad de ella.
• El radio inscrito es la apotema —el radio del círculo más grande que cabe dentro del octágono— y es útil al ajustar un octágono alrededor de un objeto redondo.
• Para figuras con un número diferente de lados, la calculadora de área de polígono regular generaliza la fórmula del área, y la calculadora de hexágono trata el caso de seis lados.

Preguntas frecuentes

¿Cómo encuentro el área de un octágono regular?

Eleva al cuadrado la longitud del lado y multiplica por $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$. Para un lado de 5 el área es $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$.

¿Cuál es la diferencia entre las tres diagonales?

La diagonal más larga une vértices opuestos y pasa por el centro, igual a $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$. La diagonal media se salta dos vértices y es igual a $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$. La diagonal más corta se salta un vértice y es igual a $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

¿Qué es la apotema de un octágono?

La apotema es el radio inscrito: la distancia desde el centro hasta el medio de un lado. Para un octágono regular es igual a $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$, aproximadamente 1,207 veces el lado.

¿Qué ancho tiene un octágono regular?

El ancho entre lados opuestos es el doble del radio inscrito, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, que también es la diagonal media. El ancho entre esquinas opuestas es la diagonal más larga, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.