Calculatrice de produit vectoriel

Qu’est-ce qu’une calculatrice de produit vectoriel ?

Une calculatrice de produit vectoriel trouve le vecteur résultant de la multiplication de deux vecteurs tridimensionnels à l’aide du produit vectoriel (ou produit en croix). Contrairement au produit scalaire, qui renvoie un seul nombre, le produit vectoriel renvoie un nouveau vecteur. Ce vecteur est perpendiculaire aux deux vecteurs d’origine et sa longueur est égale à l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent.

Étant donné deux vecteurs $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ et $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$, cet outil renvoie les trois composantes de $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Formule

Le produit vectoriel est défini composante par composante par :

Les trois composantes de sortie sont donc :

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

Comment l’utiliser

1. Saisissez les trois composantes du vecteur $\mathbf{a}$ : $a_x$, $a_y$ et $a_z$.
2. Saisissez les trois composantes du vecteur $\mathbf{b}$ : $b_x$, $b_y$ et $b_z$.
3. Une fois les six valeurs remplies, la calculatrice affiche $c_x$, $c_y$ et $c_z$ — les composantes du vecteur résultant $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Les valeurs négatives sont entièrement prises en charge. L’ordre est important : $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$, donc échanger les deux vecteurs inverse le signe de chaque composante.

Exemple résolu

Prenons $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ et $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

Ainsi, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$.

FAQ

Pourquoi le produit vectoriel est-il un vecteur alors que le produit scalaire est un nombre ?

Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction, ce qui est une seule grandeur scalaire. Le produit vectoriel mesure plutôt l’aire orientée qu’ils engendrent et pointe dans une direction perpendiculaire aux deux, il a donc naturellement besoin de trois composantes pour décrire à la fois cette grandeur et cette direction.

Que signifie un produit vectoriel égal au vecteur nul ?

Si $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$, les deux vecteurs sont parallèles (ou l’un d’eux est le vecteur nul). Des vecteurs parallèles n’engendrent aucune aire, donc le résultat perpendiculaire se réduit à rien.