Calculateur de PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Qu’est-ce que le plus grand commun diviseur ?

Le plus grand commun diviseur (PGCD), aussi appelé plus grand facteur commun, est le plus grand entier positif qui divise chaque nombre d’un ensemble donné sans laisser de reste. Par exemple, le PGCD de 12 et 18 est 6, car 6 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12 et 18 sans reste.

Ce calculateur trouve le PGCD de deux entiers positifs ou plus. En complément, il indique aussi le plus petit commun multiple (PPCM) : le plus petit entier positif qui est un multiple de chaque nombre de l’ensemble.

Comment fonctionne le calculateur ?

Saisissez vos nombres dans les lignes répétables — ajoutez-en autant que nécessaire. Le calculateur ignore les lignes vides et a besoin d’au moins deux nombres pour produire un résultat. Il applique ensuite l’algorithme d’Euclide à toute la liste pour obtenir le PGCD, puis utilise ce résultat pour calculer le PPCM.

L’algorithme d’Euclide trouve le PGCD de deux nombres en remplaçant à plusieurs reprises le plus grand nombre par le reste de la division du plus grand par le plus petit, jusqu’à ce que le reste soit nul. La dernière valeur non nulle est le PGCD. Pour traiter une liste entière, le PGCD se calcule deux à deux : pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c), et ainsi de suite.

Formules

Le PGCD d’une liste de nombres se calcule en repliant le PGCD deux à deux :

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

Le PPCM de deux nombres découle directement de leur PGCD :

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

Exemples résolus

1. Deux nombres : $\gcd(12, 18) = 6$ et $\text{lcm}(12, 18) = 36$. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 et ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18 ; le plus grand diviseur qu’ils partagent est 6.

2. Trois nombres : $\gcd(8, 12, 16) = 4$. Chacun de 8, 12 et 16 est divisible par 4, et rien de plus grand ne divise les trois.

3. Nombres premiers entre eux : $\gcd(7, 13) = 1$. 7 et 13 sont tous deux premiers, ils ne partagent donc aucun diviseur commun autre que 1 — ils sont premiers entre eux.

4. Ensemble plus grand : $\gcd(100, 75, 50) = 25$. Le nombre 25 divise les trois, alors que 50 ne divise pas 75.

Notes pratiques

• Simplifier des fractions : Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD réduit une fraction à sa forme irréductible. Voir le calculateur de simplification de fractions.
• Additionner des fractions : Le PPCM des dénominateurs donne le plus petit dénominateur commun, ce qui facilite l’addition des fractions — utile avec le calculateur d’addition.
• Uniquement des entiers positifs : Le PGCD est défini pour les nombres entiers. Les décimales et les signes négatifs n’ont pas de sens ici, donc les saisies non entières ne sont pas attendues.
• pgcd(a, 0) = a : Par convention, le plus grand commun diviseur d’un nombre quelconque et de zéro est le nombre lui-même, ce qui garde le calcul bien défini lorsque des zéros apparaissent.