Calculateur de la loi des cosinus

Qu’est-ce qu’un calculateur de la loi des cosinus ?

Le calculateur de la loi des cosinus résout un triangle lorsque vous connaissez deux de ses côtés et l’angle entre eux (le cas « côté-angle-côté »). Vous saisissez le côté $a$, le côté $b$ et l’angle compris $C$, et le calculateur renvoie la longueur du troisième côté $c$ ainsi que les deux angles restants $A$ et $B$.

La loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore. Lorsque l’angle compris vaut exactement $90°$, le terme en cosinus s’annule et la formule se ramène à $c^2 = a^2 + b^2$, la relation bien connue d’un triangle rectangle.

Comment ça marche ?

Le troisième côté découle directement de la loi des cosinus :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

En prenant la racine carrée, on obtient $c$ :

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Une fois les trois côtés connus, l’angle opposé au côté $a$ se retrouve en réarrangeant la même loi :

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Comme les trois angles intérieurs de tout triangle ont pour somme $180°$, le dernier angle suit immédiatement :

$B = 180° - A - C$

L’angle compris $C$ doit être strictement compris entre $0°$ et $180°$, et les deux côtés donnés doivent être positifs, pour que le triangle existe.

Exemples résolus

Triangle rectangle. Avec $a = 3$, $b = 4$ et $C = 90°$, le terme en cosinus disparaît, donc $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Les angles restants sont $A \approx 36.8699°$ et $B \approx 53.1301°$, retrouvant le classique triangle 3-4-5.

Triangle quelconque. Avec $a = 5$, $b = 7$ et $C = 60°$, on obtient $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$.

Notes pratiques

La loi des cosinus est la plus utile lorsque la loi des sinus ne peut pas amorcer une résolution, précisément dans les cas côté-angle-côté et côté-côté-côté, où aucun côté et son angle opposé ne sont connus ensemble. Géomètres, navigateurs et ingénieurs s’en servent pour calculer des distances à travers une ligne de base lorsque seuls deux côtés et l’angle entre eux peuvent être mesurés.

Si vous connaissez plutôt deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non compris, la loi des sinus est l’outil le plus direct. Pour le cas particulier du triangle rectangle, vous pouvez aussi utiliser le calculateur d’hypoténuse, et pour évaluer le cosinus de l’angle compris à lui seul, consultez le calculateur de trigonométrie.