Calculateur de la loi des sinus

Qu’est-ce qu’un calculateur de la loi des sinus ?

Un calculateur de la loi des sinus résout un triangle lorsque vous connaissez un angle, le côté directement opposé à lui et un deuxième angle. À partir de ces trois valeurs, il détermine le troisième angle et les deux côtés manquants. La loi des sinus est la relation qui lie les angles de tout triangle aux longueurs des côtés qui leur sont opposés, de sorte qu’elle fonctionne aussi bien pour les triangles aigus, rectangles et obtus, et pas seulement pour les triangles rectangles.

Dans ce calculateur, vous saisissez l’angle $A$ en degrés, le côté $a$ (le côté opposé à l’angle $A$) et l’angle $B$ en degrés. Il renvoie l’angle $C$, le côté $b$ et le côté $c$.

Comment fonctionne-t-il ?

La loi des sinus énonce que le rapport de chaque côté au sinus de son angle opposé est le même pour les trois côtés d’un triangle :

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Comme les angles intérieurs de tout triangle s’additionnent pour donner $180^\circ$, le troisième angle s’obtient immédiatement :

$C = 180^\circ - A - B$

Une fois chaque angle connu et un côté opposé ($a$) donné, les côtés restants découlent directement des rapports ci-dessus :

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

Pour que ces formules décrivent un triangle réel, $A$ et $B$ doivent tous deux être positifs et leur somme doit être inférieure à $180^\circ$. Si $A + B \ge 180^\circ$, il n’existe aucun triangle valide, et le calculateur laisse les résultats vides.

Exemples résolus

Exemple 1 : un triangle 30-60-90

Supposons $A = 30^\circ$, $a = 10$ et $B = 60^\circ$. Trouvez d’abord l’angle manquant :

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Appliquez maintenant les rapports. Puisque $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 60^\circ \approx 0.8660$ et $\sin 90^\circ = 1$ :

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

Donc $C = 90^\circ$, $b \approx 17.3205$ et $c = 20$.

Exemple 2 : un triangle rectangle isocèle

Avec $A = 45^\circ$, $a = 10$ et $B = 45^\circ$ :

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Comme $\sin 45^\circ = \sin B$, le côté $b$ est égal au côté $a$ :

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

Le triangle a deux côtés égaux de longueur $10$ et une hypoténuse d’environ $14.1421$.

Notes pratiques

• Saisissez les deux angles en degrés. Le calculateur les convertit en interne avant de prendre le sinus.
• Le côté connu $a$ doit être celui opposé à l’angle connu $A$ ; sinon les rapports ne s’aligneront pas.
• Cet outil utilise la configuration angle-angle-côté (AAS), qui produit toujours un seul triangle. Le « cas ambigu » côté-côté-angle (SSA), plus délicat — où deux triangles différents peuvent convenir —, n’est pas traité ici.
• Lorsque vous connaissez au contraire deux côtés et l’angle compris entre eux, tournez-vous vers le calculateur de la loi des cosinus, et pour le sinus, le cosinus et la tangente simples d’un seul angle, consultez le calculateur de trigonométrie.

Foire aux questions

Quand dois-je utiliser la loi des sinus plutôt que la loi des cosinus ?

Utilisez la loi des sinus lorsque vous connaissez un angle ainsi que le côté qui lui est opposé, plus un autre angle ou côté (les cas AAS ou ASA). Utilisez la loi des cosinus lorsque vous connaissez deux côtés et l’angle compris entre eux, ou les trois côtés.

La loi des sinus fonctionne-t-elle pour les triangles non rectangles ?

Oui. Elle s’applique à tout triangle — aigu, rectangle et obtus. C’est l’un des principaux outils pour résoudre les triangles qui ne sont pas rectangles.

Pourquoi mes résultats sont-ils vides ?

Les résultats restent vides si un champ est manquant, si un angle est nul ou négatif, ou si l’angle $A$ plus l’angle $B$ vaut $180^\circ$ ou plus, car aucun triangle ne peut avoir ces angles.