Calculateur d'octogone

Qu’est-ce qu’un calculateur d’octogone ?

Le calculateur d’octogone est un outil unique qui décrit un octogone régulier — la figure à huit côtés aux côtés et aux angles égaux, le même contour qu’un panneau stop. Saisissez une mesure et il renvoie toutes les autres grandeurs à la fois : la longueur du côté, l’aire, le périmètre, les trois diagonales, le rayon du cercle circonscrit et le rayon du cercle inscrit. C’est pratique pour les élèves qui vérifient des devoirs de géométrie, pour les bricoleurs qui découpent un cadre octogonal ou un plateau de table, et pour quiconque trace un kiosque, un motif de pavage ou un panneau.

Propriétés d’un octogone régulier

Un octogone régulier a huit côtés égaux et huit angles intérieurs de 135 degrés chacun. Comme les huit sommets ne sont pas tous à la même distance les uns des autres, un octogone possède trois diagonales distinctes au lieu des deux d’un hexagone :

• Plus grande diagonale relie deux sommets opposés et passe par le centre ; c’est la largeur totale de la figure.
• Diagonale moyenne relie deux sommets séparés par deux sommets.
• Plus petite diagonale relie deux sommets en sautant un seul sommet.

Le rayon du cercle circonscrit est la distance du centre à un coin, et le rayon du cercle inscrit (aussi appelé apothème) est la distance du centre au milieu d’un côté.

Comment fonctionne le calculateur ?

Saisissez une valeur dans n’importe quel champ et le calculateur retrouve d’abord la longueur du côté à partir de celle-ci, puis remplit toutes les propriétés restantes. Vous pouvez ainsi partir du côté, de l’aire, du périmètre, de l’une des trois diagonales, du rayon du cercle circonscrit ou du rayon du cercle inscrit, et vous obtiendrez toujours une description complète de l’octogone. Chaque champ de longueur accepte différentes unités, et les conversions entre elles se font automatiquement.

Formules

Avec la longueur du côté $a$, l’aire d’un octogone régulier est :

Le périmètre est huit fois le côté :

Les trois diagonales — la plus grande $D$, la moyenne $M$ et la plus petite $d$ — sont :

Le rayon du cercle circonscrit $R$ est la moitié de la plus grande diagonale, et le rayon du cercle inscrit $r$ (l’apothème) est la moitié de la diagonale moyenne :

où $A$ est l’aire, $P$ le périmètre, $D$, $M$ et $d$ les plus grande, moyenne et plus petite diagonales, $R$ le rayon du cercle circonscrit, $r$ le rayon du cercle inscrit et $a$ la longueur du côté.

Exemples

1. Un octogone régulier avec un côté de 5 cm :

2. En remontant à partir d’un périmètre de 40 cm, le côté vaut $40 / 8 = 5$ cm, ce qui reproduit toutes les valeurs ci-dessus.

Notes pratiques

• La plus grande diagonale est l’envergure totale d’un octogone à côtés plats, c’est donc le diamètre du plus petit cercle contenant la figure ; le rayon du cercle circonscrit en est exactement la moitié.
• Le rayon du cercle inscrit est l’apothème — le rayon du plus grand cercle qui tient à l’intérieur de l’octogone — et il est utile pour ajuster un octogone autour d’un objet rond.
• Pour des figures comportant un nombre différent de côtés, le calculateur d’aire d’un polygone régulier généralise la formule de l’aire, et le calculateur d’hexagone traite le cas à six côtés.

FAQ

Comment trouver l’aire d’un octogone régulier ?

Élevez la longueur du côté au carré et multipliez par $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$. Pour un côté de 5, l’aire est $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$.

Quelle est la différence entre les trois diagonales ?

La plus grande diagonale relie des sommets opposés et passe par le centre, égale à $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$. La diagonale moyenne saute deux sommets et vaut $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$. La plus petite diagonale saute un sommet et vaut $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Qu’est-ce que l’apothème d’un octogone ?

L’apothème est le rayon du cercle inscrit — la distance du centre au milieu d’un côté. Pour un octogone régulier, il vaut $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$, soit environ 1,207 fois le côté.

Quelle est la largeur d’un octogone régulier ?

La largeur entre côtés opposés est le double du rayon du cercle inscrit, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, qui est aussi la diagonale moyenne. La largeur entre coins opposés est la plus grande diagonale, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.