Calculateur de pentagone

Qu’est-ce qu’un calculateur de pentagone ?

Le calculateur de pentagone détermine la géométrie d’un pentagone régulier — la figure à cinq côtés avec des côtés égaux et des angles égaux — à partir d’une seule mesure : la longueur du côté. Saisissez un côté et le calculateur renvoie l’aire, le périmètre et l’apothème en une seule fois. Il est pratique pour les élèves qui vérifient leurs devoirs de géométrie, les bricoleurs qui tracent un panneau ou un plateau à cinq côtés, et toute personne concevant des motifs qui utilisent le pentagone, une forme que l’on retrouve partout, des ballons de football à l’architecture.

Propriétés d’un pentagone régulier

Un pentagone régulier a cinq côtés égaux et cinq angles intérieurs de 108 degrés chacun. L’apothème est la distance du centre du pentagone au milieu de n’importe quel côté ; c’est aussi le rayon du plus grand cercle qui tient à l’intérieur de la figure. Comme chaque côté a la même longueur, le périmètre vaut simplement cinq fois le côté, et l’aire peut s’exprimer directement en fonction du côté à l’aide d’une seule constante.

Comment ça fonctionne ?

Saisissez la longueur du côté et le calculateur complète le reste. Le périmètre vaut cinq fois le côté. L’aire utilise la constante exacte d’un pentagone régulier, et l’apothème utilise la constante qui relie la distance du centre au bord au côté. Les trois résultats se mettent à jour immédiatement lorsque vous modifiez le côté.

Formules

Avec la longueur du côté $s$, le périmètre d’un pentagone régulier vaut cinq fois le côté :

L’aire est donnée par la formule exacte :

La constante $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$, donc l’aire vaut environ $1.72048\,s^2$.

L’apothème (du centre au milieu d’un côté) est :

Le facteur $\frac{1}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819$, donc l’apothème vaut environ $0.68819\,s$.

Ici $P$ est le périmètre, $A$ l’aire, $a$ l’apothème et $s$ la longueur du côté.

Exemples

1. Un pentagone régulier avec un côté de 1 unité :

2. Un pentagone régulier avec un côté de 6 unités :

Notes pratiques

• L’apothème est utile lorsque vous avez besoin de l’aire sous la forme $A = \tfrac{1}{2} \times P \times a$, une formule qui fonctionne pour tout polygone régulier.
• Un pentagone ne pave pas le plan à lui seul, contrairement à l’hexagone régulier — voir le calculateur d’hexagone pour une forme à six côtés qui le fait.
• Pour d’autres formes régulières, le calculateur de triangle équilatéral et le calculateur d’aire du cercle traitent les cas à trois côtés et ronds.

FAQ

Comment trouver l’aire d’un pentagone régulier ?

Élevez la longueur du côté au carré et multipliez par la constante $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$. Pour un côté de 6, l’aire vaut environ $1.72048 \times 36 \approx 61.9372$.

Qu’est-ce que l’apothème d’un pentagone ?

L’apothème est la distance du centre au milieu d’un côté. Pour un pentagone régulier, elle vaut $\frac{s}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819\,s$, donc un côté de 1 donne un apothème d’environ $0.6882$.

Quel est le périmètre d’un pentagone régulier ?

Comme les cinq côtés sont égaux, le périmètre vaut simplement cinq fois le côté : $P = 5s$. Un côté de 6 donne un périmètre de 30.