Calculateur de probabilité

Qu’est-ce qu’un calculateur de probabilité ?

Un calculateur de probabilité détermine la probabilité de combinaisons de deux événements une fois que vous connaissez la probabilité de chacun pris séparément. Vous saisissez la probabilité de l’événement $A$ et la probabilité de l’événement $B$ en pourcentage, et le calculateur renvoie quatre probabilités combinées : les deux événements ensemble, au moins l’un d’eux, aucun d’eux, et $A$ se produisant tandis que $B$ ne se produit pas.

Cet outil suppose que les deux événements sont indépendants — l’issue de l’un n’a aucun effet sur l’issue de l’autre. Lancer un dé et lancer une pièce, ou deux machines distinctes ayant chacune un taux de panne fixe, sont des exemples classiques d’événements indépendants.

Comment fonctionne le calculateur ?

Vous fournissez deux données, chacune comprise entre 0 % et 100 % :

• P(A) — la probabilité que l’événement $A$ se produise.
• P(B) — la probabilité que l’événement $B$ se produise.

Comme les événements sont indépendants, les probabilités conjointes découlent directement de la multiplication. En travaillant en pourcentage, chaque produit est divisé par 100 pour garder le résultat sur une échelle de 0 à 100 %. Le calculateur indique alors :

• P(A et B) — les deux événements se produisent.
• P(A ou B) — au moins l’un des deux événements se produit.
• P(ni A ni B) — aucun des deux événements ne se produit.
• P(A mais pas B) — $A$ se produit tandis que $B$ ne se produit pas.

Formule

Pour deux événements indépendants de probabilités $p_A$ et $p_B$ (écrites sous forme décimale) :

Lorsque les données sont saisies en pourcentage, chaque terme produit est divisé par 100. Par exemple $P(A \cap B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B)}{100}$ avec $P(A)$ et $P(B)$ en pourcentage.

Exemples résolus

1. Deux pièces équilibrées, P(A) = P(B) = 50 %. Les deux tombent sur face : $50 \times 50 / 100 = 25\%$. Au moins une face : $50 + 50 - 25 = 75\%$. Aucune face : $50 \times 50 / 100 = 25\%$. La première tombe sur face mais pas la seconde : $50 \times 50 / 100 = 25\%$.

2. P(A) = 20 %, P(B) = 30 %. Les deux : $20 \times 30 / 100 = 6\%$. L’un ou l’autre : $20 + 30 - 6 = 44\%$. Aucun : $80 \times 70 / 100 = 56\%$. A mais pas B : $20 \times 70 / 100 = 14\%$.

Notes

• Les quatre résultats sont liés : $P(A \cup B)$ et $P(\text{neither})$ totalisent toujours 100 %, car « au moins un » et « aucun » sont des issues complémentaires.
• L’indépendance est l’hypothèse clé. Si savoir que $A$ s’est produit change la probabilité de $B$, les événements sont dépendants et vous avez alors besoin de la probabilité conditionnelle — voir le calculateur du théorème de Bayes.
• Pour combiner le même événement sur de nombreux essais répétés (comme plusieurs lancers de pièce d’affilée), utilisez le calculateur de probabilité de lancer de pièce, qui applique la loi binomiale.

FAQ

Les probabilités doivent-elles totaliser 100 % ? Non. $P(A)$ et $P(B)$ sont des données indépendantes et chacune peut prendre n’importe quelle valeur de 0 % à 100 %. Elles décrivent deux événements distincts, et non deux issues d’un même événement.

Que signifie « indépendant » ici ? Deux événements sont indépendants lorsque la survenue de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Ce n’est que sous l’hypothèse d’indépendance que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ est vraie.

Comment traiter des événements mutuellement exclusifs ? Si deux événements ne peuvent pas se produire tous les deux, ils ne sont pas indépendants, et $P(A \cap B) = 0$. Ce calculateur est conçu pour des événements indépendants, ce n’est donc pas le bon outil pour des événements mutuellement exclusifs.