Calculateur de statistique t

Qu’est-ce qu’une statistique t ?

Une statistique t mesure l’écart entre la moyenne d’un échantillon et une moyenne de population supposée, mis à l’échelle par la variabilité propre de l’échantillon. C’est l’élément central du test t à un échantillon : vous prélevez un échantillon, comparez sa moyenne à une valeur cible, et la statistique t indique à quel point cet écart est surprenant en unités d’erreur standard. Une statistique t proche de 0 signifie que la moyenne de l’échantillon est proche de la moyenne de la population ; une grande valeur positive ou négative signifie que l’échantillon en est éloigné.

La statistique t est étroitement liée au score Z, mais elle utilise l’écart-type de l’échantillon au lieu d’un écart-type de population connu. C’est précisément cette substitution qui justifie l’existence de la distribution t : elle a des queues un peu plus épaisses que la distribution normale pour tenir compte de l’incertitude supplémentaire liée à l’estimation de la dispersion à partir d’un petit échantillon.

Comment fonctionne le calculateur ?

Saisissez la moyenne de l’échantillon, la moyenne de la population à laquelle vous comparez, l’écart-type de l’échantillon et la taille de l’échantillon. Le calculateur renvoie la statistique t à un échantillon :

Où :

• x̄ est la moyenne de l’échantillon.
• μ₀ est la moyenne de la population énoncée dans l’hypothèse nulle.
• s est l’écart-type de l’échantillon, qui doit être supérieur à zéro.
• n est la taille de l’échantillon, qui doit être d’au moins un.

Le dénominateur s / √n est l’erreur standard de la moyenne — la distance typique entre une moyenne d’échantillon et la vraie moyenne. Diviser l’écart brut par l’erreur standard le convertit en une statistique de test sans unité que vous pouvez comparer à une distribution t à n − 1 degrés de liberté.

Exemples résolus

1. Un échantillon au-dessus de la cible. Un échantillon de n = 25 a une moyenne x̄ = 130 face à une moyenne de population de μ₀ = 120, avec un écart-type d’échantillon s = 15. $t = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{25}} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$ La moyenne de l’échantillon se situe environ 3,33 erreurs standard au-dessus de la moyenne supposée.

2. Un petit décalage positif. Avec x̄ = 10.5, μ₀ = 10, s = 2 et n = 16 : $t = \frac{10.5 - 10}{2 / \sqrt{16}} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ La moyenne de l’échantillon se situe exactement une erreur standard au-dessus de la cible.

3. Un échantillon en dessous de la cible. Avec x̄ = 98, μ₀ = 100, s = 5 et n = 25 : $t = \frac{98 - 100}{5 / \sqrt{25}} = \frac{-2}{1} = -2$ Le signe négatif montre que la moyenne de l’échantillon se situe deux erreurs standard sous la moyenne supposée.

Notes pratiques

• L’écart-type de l’échantillon doit être positif. Une valeur de zéro signifierait que les données n’ont aucune dispersion, rendant l’erreur standard — et la statistique t — indéfinie.
• Pour juger de la significativité, comparez la statistique t à une valeur critique de la distribution t à n − 1 degrés de liberté, ou convertissez-la en valeur p.
• Pour les grands échantillons, la distribution t converge vers la distribution normale, de sorte que la statistique t et le score Z deviennent presque identiques.
• Utilisez cette formule à un échantillon lorsque vous comparez une seule moyenne d’échantillon à une valeur de référence fixe ; un test à deux échantillons utilise un dénominateur différent.

FAQ

Une statistique t peut-elle être négative ?

Oui. Une statistique t négative signifie simplement que la moyenne de l’échantillon est inférieure à la moyenne de la population à laquelle vous comparez. Le signe indique la direction, tandis que la magnitude indique la distance en unités d’erreur standard.

Quelle est la différence entre une statistique t et un score Z ?

Les deux mesurent la distance par rapport à une valeur de référence, mais le score Z divise par un écart-type de population connu, tandis que la statistique t divise par l’erreur standard construite à partir de l’écart-type de l’échantillon. La statistique t est le bon choix lorsque l’écart-type de la population est inconnu. Voir le calculateur de score Z pour le cas avec un écart-type de population connu.

Que sont les degrés de liberté ?

Pour un test t à un échantillon, les degrés de liberté sont égaux à n − 1. Ils décrivent la forme de la distribution t à laquelle vous comparez la statistique : moins de degrés de liberté donnent des queues plus épaisses et un test plus conservateur.

Pourquoi l’écart-type de l’échantillon doit-il être supérieur à zéro ?

La formule divise par l’erreur standard s / √n. Si s valait zéro, la division serait indéfinie, et un échantillon sans variabilité ne peut pas soutenir un test pertinent.