Kalkulator panjang tali busur

Apa itu kalkulator panjang tali busur?

Tali busur adalah segmen garis lurus yang kedua ujungnya terletak pada sebuah lingkaran. Tali busur terpanjang dari sebuah lingkaran adalah diameternya; setiap tali busur lainnya lebih pendek dan “dibentuk” oleh suatu sudut pusat — sudut yang terbentuk di pusat oleh dua jari-jari yang ditarik ke ujung-ujung tali busur.

Kalkulator ini menemukan salah satu dari tiga nilai — panjang tali busur, jari-jari, atau sudut pusat — ketika dua nilai lainnya diketahui. Sudut dapat dimasukkan dalam derajat atau radian, dan jari-jari serta tali busur dapat dimasukkan dalam satuan panjang umum apa pun.

Konsep kunci

• Jari-jari (r) — jarak dari pusat lingkaran ke titik pada batasnya.
• Sudut pusat (θ) — sudut yang terbentuk di pusat lingkaran oleh dua jari-jari yang ditarik ke ujung-ujung tali busur.
• Tali busur (c) — jarak garis lurus antara kedua ujung busur, yang memotong lingkaran alih-alih mengikuti kurvanya.
• Diameter — kasus khusus dari tali busur yang melewati pusat. Panjangnya $2r$ dan sesuai dengan sudut pusat 180°.

Tali busur dan panjang busur menggambarkan pasangan ujung yang sama dari dua perspektif berbeda: tali busur adalah jalan pintas lurus melintasi, sedangkan busur adalah jalur sepanjang lingkaran.

Bagaimana cara kerja kalkulator ini?

Tali busur, kedua jari-jari ke ujung-ujungnya, dan garis tegak lurus yang ditarik dari pusat membentuk dua segitiga siku-siku yang kongruen. Setengah dari tali busur, jari-jari, dan setengah dari sudut pusat memenuhi

$$\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \frac{c/2}{r}$$

yang ditata ulang menjadi rumus yang digunakan kalkulator.

Rumus

Tali busur dari jari-jari dan sudut pusat:

$$c = 2 r \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$$

Jari-jari dari tali busur dan sudut pusat:

$$r = \frac{c}{2 \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

Sudut pusat dari tali busur dan jari-jari:

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{c}{2r}\right)$$

Dalam derajat, ganti $\theta$ dengan $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$, atau baca sudut langsung dari kalkulator setelah mengubah pemilih satuan.

Contoh perhitungan

Contoh 1: tali busur dari jari-jari dan sudut

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm dan sudut pusat 60°. Tali busur yang dibentuk oleh sudut tersebut adalah

$$c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ cm}$$

Ini adalah identitas yang sudah dikenal bahwa tali busur dari sudut 60° sama dengan jari-jari — segitiga yang terbentuk adalah sama sisi.

Contoh 2: tali busur sama dengan diameter pada 180°

Untuk jari-jari 5 m dan sudut pusat 180° (atau $\pi$ radian), tali busur membentang sepanjang lingkaran:

$$c = 2 \cdot 5 \cdot \sin(90°) = 10 \text{ m}$$

Ini adalah diameter lingkaran.

Contoh 3: jari-jari dari tali busur dan sudut

Sebuah tali busur sepanjang 10 cm dipotong oleh sudut pusat 60°. Jari-jari lingkaran adalah

$$r = \frac{10}{2 \sin(30°)} = \frac{10}{1} = 10 \text{ cm}$$

Contoh 4: sudut dari tali busur dan jari-jari

Sebuah tali busur sepanjang 10 cm ditarik di lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Sudut pusatnya adalah

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{10}{20}\right) = 2 \cdot 30° = 60°$$

Contoh 5: tali busur seperempat lingkaran

Untuk sudut 90° pada lingkaran dengan jari-jari 1, tali busurnya adalah $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$, sedangkan panjang busur untuk sudut yang sama adalah $\pi/2 \approx 1.5708$. Busur selalu sedikit lebih panjang daripada tali busur.

Penggunaan praktis

• Teknik — merancang sabuk dan katrol, di mana jarak garis lurus antara titik kontak pada dua roda merupakan tali busur dari setiap roda.
• Arsitektur dan pertukangan — mengukur lebar lengkungan atau jendela melengkung, di mana tali busur memberikan bentang dan panjang busur memberikan bahan yang dibutuhkan di sepanjang kurva.
• Survei — menetapkan posisi di lapangan dari titik referensi melingkar; pengukuran tali busur lebih mudah ditandai daripada busur.
• Astronomi — menghitung diameter tampak benda-benda jauh, di mana tali busur yang melintasi penampang melingkar sesuai dengan rentang yang diamati.
• Geometri dan trigonometri — hubungan tali busur/sudut adalah salah satu definisi asli dari fungsi sinus dan masih muncul dalam perhitungan sektor lingkaran dan segmen.

Catatan

• Tali busur tidak pernah bisa lebih panjang dari diameter ($c \le 2r$). Jika Anda memasukkan tali busur yang lebih panjang dari itu, sudutnya tidak terdefinisi dan kalkulator tidak mengembalikan hasil.
• Sudut 0° memberikan tali busur 0 — kedua ujungnya berimpit.
• Sudut 180° memberikan diameter; sudut lebih besar dari 180° melingkar kembali dan memberikan tali busur yang sama dengan suplemennya (mis. 200° dan 160° menghasilkan tali busur yang identik).
• Saat mencari jari-jari dari tali busur dan sudut, sudut tidak boleh 0; saat mencari sudut, jari-jari tidak boleh 0.
• Jari-jari dan tali busur berbagi satuan: mengganti pemilih satuan akan mengonversi ulang hasilnya secara otomatis.