Kalkulator aturan keterbagian

Apa itu kalkulator aturan keterbagian?

Kalkulator aturan keterbagian mengambil satu bilangan bulat $N$ dan memberi tahu Anda, secara sekilas, oleh pembagi kecil mana saja bilangan itu dapat dibagi. Alat ini memeriksa setiap pembagi dari 2 hingga 12 dan menjawab Ya atau Tidak untuk masing-masing. Sebuah bilangan dapat dibagi oleh $d$ ketika pembagian tidak meninggalkan sisa — yaitu, ketika $N$ dapat ditulis sebagai $d$ dikalikan dengan bilangan bulat lain.

Keterbagian adalah salah satu gagasan paling berguna dalam aritmetika. Ini memungkinkan Anda menyederhanakan pecahan, menemukan faktor persekutuan, mengenali bilangan prima, dan membagi jumlah ke dalam kelompok yang sama tanpa melakukan pembagian panjang setiap kali.

Apa arti “dapat dibagi”?

Kita mengatakan $N$ dapat dibagi oleh $d$ ketika sisa pembagian adalah nol:

$$N \bmod d = 0$$

Secara setara, ada bilangan bulat $k$ sehingga:

$$N = d \times k$$

Sebagai contoh, 60 dapat dibagi oleh 12 karena $60 = 12 \times 5$, tanpa meninggalkan sisa. Sebaliknya, 60 tidak dapat dibagi oleh 7, karena $60 = 7 \times 8 + 4$ — tersisa sisa 4.

Karena $0 \bmod d = 0$ untuk setiap $d$ bukan nol, bilangan 0 dapat dibagi oleh setiap pembagi. Kalkulator memperlakukan 0 sebagai masukan yang valid dan menjawab Ya di seluruh kisi.

Bagaimana cara kerja kalkulator?

Anda mengetik sebuah bilangan bulat, dan kalkulator menerapkan aturan keterbagian yang dikenal untuk setiap pembagi dari 2 hingga 12. Setiap aturan adalah jalan pintas yang menghindari pembagian penuh dengan hanya melihat angka-angka penyusun bilangan tersebut.

Keterbagian oleh 2

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 2 ketika bilangan itu genap — angka terakhirnya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8. Contoh: 60 berakhir dengan 0, sehingga dapat dibagi oleh 2.

Keterbagian oleh 3

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 3 ketika jumlah angka-angkanya dapat dibagi oleh 3. Untuk 60: $6 + 0 = 6$, dan 6 dapat dibagi oleh 3, sehingga 60 dapat dibagi oleh 3.

Keterbagian oleh 4

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 4 ketika bilangan yang dibentuk oleh dua angka terakhirnya dapat dibagi oleh 4. Untuk 60, dua angka terakhir membentuk 60, dan $60 = 4 \times 15$, sehingga 60 dapat dibagi oleh 4.

Keterbagian oleh 5

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 5 ketika angka terakhirnya adalah 0 atau 5. Contoh: 60 berakhir dengan 0, sehingga dapat dibagi oleh 5.

Keterbagian oleh 6

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 6 ketika dapat dibagi baik oleh 2 maupun 3. Karena 60 lolos uji untuk 2 dan 3, bilangan itu dapat dibagi oleh 6.

Keterbagian oleh 7

Ambil angka terakhir, gandakan, dan kurangkan dari sisa bilangan. Jika hasilnya dapat dibagi oleh 7, maka bilangan aslinya juga. Untuk 91: hapus angka 1, gandakan menjadi 2, lalu $9 - 2 = 7$. Karena 7 dapat dibagi oleh 7, 91 juga demikian — memang $91 = 7 \times 13$.

Keterbagian oleh 8

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 8 ketika bilangan yang dibentuk oleh tiga angka terakhirnya dapat dibagi oleh 8. Untuk bilangan dengan kurang dari tiga angka, cukup periksa seluruh bilangan.

Keterbagian oleh 9

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 9 ketika jumlah angka-angkanya dapat dibagi oleh 9. Untuk 60: $6 + 0 = 6$, yang tidak dapat dibagi oleh 9, sehingga 60 tidak dapat dibagi oleh 9.

Keterbagian oleh 10

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 10 ketika angka terakhirnya adalah 0. Contoh: 60 berakhir dengan 0, sehingga dapat dibagi oleh 10.

Keterbagian oleh 11

Jumlahkan dan kurangkan angka-angka dalam pola bergantian (dari kanan ke kiri) dan periksa apakah hasilnya dapat dibagi oleh 11 (nol dihitung sebagai dapat dibagi). Untuk 121: $1 - 2 + 1 = 0$, sehingga 121 dapat dibagi oleh 11.

Keterbagian oleh 12

Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 12 ketika dapat dibagi baik oleh 3 maupun 4. Karena 60 lolos uji untuk 3 dan 4, bilangan itu dapat dibagi oleh 12.

Rumus

Uji umum untuk pembagi $d$ mana pun bergantung pada operasi modulo (sisa):

$$N \text{ is divisible by } d \iff N \bmod d = 0$$

Banyak aturan dibangun atas fakta bahwa sebuah bilangan kongruen dengan kombinasi sederhana dari angka-angkanya. Untuk aturan jumlah angka (3 dan 9), jika $N$ memiliki angka $a_i$, maka:

$$N \equiv \sum_i a_i \pmod{9}$$

sehingga $N$ dapat dibagi oleh 3 atau 9 tepat ketika jumlah angka-angkanya dapat dibagi. Untuk 11, jumlah bergantian berlaku karena $10 \equiv -1 \pmod{11}$:

$$N \equiv \sum_i (-1)^i a_i \pmod{11}$$

Contoh terselesaikan

Contoh 1: N = 60

• Dapat dibagi oleh 2, 3, 4, 5, 6, 10, dan 12 → Ya
• Dapat dibagi oleh 7, 8, 9, dan 11 → Tidak

Bilangan 60 sangat komposit, yang justru menjadi alasan kalender, jam, dan sistem pengukuran menyukainya: bilangan itu terbagi rata menjadi setengah, sepertiga, seperempat, seperlima, seperenam, dan seperdua belas.

Contoh 2: N = 91

• Dapat dibagi oleh 7 → Ya (karena $91 = 7 \times 13$)
• Dapat dibagi oleh 2 → Tidak (91 ganjil)
• Dapat dibagi oleh 3 → Tidak (jumlah angka $9 + 1 = 10$ tidak dapat dibagi oleh 3)

Contoh 3: N = 0

Nol dapat dibagi oleh setiap pembagi, karena $0 \bmod d = 0$ untuk setiap $d$. Kalkulator menjawab Ya untuk semua bilangan dari 2 hingga 12.

Catatan praktis

• Aturan berlaku untuk bilangan bulat. Bilangan negatif mengikuti aturan yang sama dengan nilai mutlaknya — misalnya, −60 berperilaku seperti 60.
• Aturan keterbagian adalah cara tercepat untuk menyederhanakan pecahan ke bentuk paling sederhana: temukan pembagi yang membagi baik pembilang maupun penyebut, lalu coret pembagi tersebut.
• Untuk menemukan setiap pembagi dari sebuah bilangan alih-alih hanya memeriksa 2 hingga 12, gunakan Kalkulator faktor.
• Untuk menggabungkan beberapa bilangan, Kalkulator kelipatan persekutuan terkecil dan Kalkulator faktor persekutuan terbesar dibangun langsung atas keterbagian.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apakah setiap bilangan dapat dibagi oleh 1?

Ya. Setiap bilangan bulat dapat dibagi oleh 1 dan oleh dirinya sendiri, itulah sebabnya kisi keterbagian dimulai dari 2 — pembagi non-trivial pertama.

Mengapa 0 dapat dibagi oleh setiap bilangan?

Karena $0 \bmod d = 0$ untuk setiap pembagi $d$ bukan nol: membagi 0 dengan bilangan apa pun tidak meninggalkan sisa. Perhatikan bahwa pembagian dengan 0 tidak terdefinisi, itulah sebabnya 0 tidak pernah muncul sebagai pembagi.

Adakah satu aturan tunggal untuk keterbagian oleh 6 atau 12?

Tidak ada trik angka tersendiri — Anda menggabungkan aturan-aturan yang lebih sederhana. Sebuah bilangan dapat dibagi oleh 6 ketika lolos uji 2 dan 3, dan dapat dibagi oleh 12 ketika lolos uji 3 dan 4.