Calcolatore di rendita immediata

Che cos’è un calcolatore di rendita immediata?

Un calcolatore di rendita immediata ti dice quanto reddito una somma unica ti pagherà in ogni periodo, per un numero fisso di periodi, una volta convertita quella somma in una rendita. Consegni a un assicuratore o a un piano un unico capitale (spesso chiamato premio) e in cambio ti paga un importo costante ogni mese, trimestre o anno fino al termine della durata. Lo strumento risponde alla domanda pratica al centro di questo scambio: per questo capitale, questo tasso e questa durata, quanto vale ogni pagamento?

È l’immagine speculare di una proiezione di risparmio. Invece di chiedersi come cresce un saldo verso il futuro, si chiede come un saldo di oggi si distribuisce in un flusso di prelievi uguali che lo esaurisce esattamente — capitale più interessi — nell’arco della durata scelta.

Come funziona il calcolatore?

Inserisci quattro elementi: il capitale (il premio che versi), il tasso di interesse annuo, la durata in anni e con quale frequenza vuoi essere pagato — la frequenza di pagamento (mensile, trimestrale o annuale). Il calcolatore converte le cifre annuali in cifre per periodo, perché il pagamento avviene per periodo e non per anno:

• il tasso periodico è il tasso annuo diviso per il numero di pagamenti all’anno;
• il numero di periodi è la durata in anni moltiplicata per il numero di pagamenti all’anno.

Con questi due numeri risolve la relazione del valore attuale di una rendita rispetto al pagamento. Poi riporta il pagamento per periodo, il totale che ricevi sull’intera durata e quanto di quel totale sono interessi invece di una restituzione del tuo capitale.

Formula

Il valore attuale di una rendita — la somma unica che finanzia un flusso di pagamenti uguali — è legato al pagamento da:

$PV = PMT \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$

Risolvendo per il pagamento si ottiene la formula usata dal calcolatore:

$PMT = \frac{PV \cdot r}{1 - (1 + r)^{-n}}$

Dove:

• $PMT$ è il pagamento per periodo.
• $PV$ è il capitale (il premio versato).
• $r$ è il tasso di interesse per periodo.
• $n$ è il numero totale di periodi.

Il tasso per periodo e il conteggio dei periodi derivano dai dati annuali:

$r = \frac{\text{annual rate}}{k}, \qquad n = k \cdot t$

dove $k$ è il numero di pagamenti all’anno (12 per mensile, 4 per trimestrale, 1 per annuale) e $t$ è la durata in anni.

Il pagamento totale e la quota di interessi seguono direttamente:

$\text{Total payout} = PMT \cdot n, \qquad \text{Total interest} = PMT \cdot n - PV$

Tasso di interesse pari a zero

Quando il tasso è zero, la formula del pagamento dividerebbe per zero, quindi si riduce a distribuire semplicemente il capitale in modo uniforme sui periodi:

$PMT = \frac{PV}{n}$

Esempi d’uso

1. Un capitale di 100.000 a un tasso annuo del 5%, pagato mensilmente su una durata di 10 anni:

   • Capitale $PV$ = 100000
   • Tasso periodico $r = 0.05 / 12 \approx 0.00416667$
   • Periodi $n = 10 \cdot 12 = 120$

   Calcolo: $PMT = \frac{100000 \cdot 0.00416667}{1 - (1.00416667)^{-120}} \approx 1060.66$

   Sull’intera durata il pagamento totale è di circa $1060.66 \cdot 120 \approx 127278.62$, di cui circa 27.278,62 sono interessi e i restanti 100.000 sono una restituzione del tuo capitale.

2. La stessa durata mensile di 10 anni con un tasso dello 0% su un capitale di 120.000:

   • Capitale $PV$ = 120000
   • Periodi $n = 120$

   Calcolo: $PMT = \frac{120000}{120} = 1000$

   Senza interessi, la rendita restituisce semplicemente il tuo capitale in parti uguali: il pagamento totale è esattamente 120.000 e gli interessi guadagnati sono 0.

Note pratiche

• Il tasso e la frequenza di pagamento devono descrivere lo stesso periodo. Il calcolatore se ne occupa per te trasformando il tasso annuo in un tasso per periodo, così devi solo digitare la cifra annuale e scegliere la frequenza.
• Un pagamento più frequente dà un importo minore ogni volta ma lo stesso totale sull’intera durata; la scelta riguarda i tempi del flusso di cassa, non il valore totale.
• La cifra degli interessi è la ricompensa per aver lasciato che l’assicuratore trattenga il tuo capitale: più lunga è la durata e più alto è il tasso, maggiore è la quota del pagamento totale costituita da interessi anziché da una restituzione di capitale.
• Un calcolo a tasso zero è un utile controllo di coerenza: il pagamento totale dovrebbe essere esattamente pari al capitale, senza interessi, perché stai solo ricevendo il tuo denaro secondo un calendario.
• Questo modella una rendita fissa e immediata con un pagamento costante e una durata finita. Non valuta una rendita vitalizia (la cui durata dipende dall’aspettativa di vita), adeguamenti all’inflazione, prestazioni ai superstiti, imposte o commissioni dell’assicuratore.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra una rendita immediata e una differita?

Una rendita immediata inizia a pagare subito, entro un periodo dal versamento del premio, ed è esattamente ciò che modella questo calcolatore. Una rendita differita fa prima crescere il premio per alcuni anni e inizia a pagare solo più tardi; proietteresti prima quella fase di crescita — ad esempio con un calcolatore del valore futuro — e poi convertiresti in rendita il saldo risultante.

Perché parte di ogni pagamento non è davvero “reddito”?

Ogni pagamento combina due cose: gli interessi che il capitale genera e una parte del capitale stesso che viene restituita. Solo gli interessi sono denaro davvero nuovo; il resto è una restituzione di quanto hai versato. Ecco perché gli interessi totali guadagnati sono il pagamento totale meno il capitale iniziale.

Cosa succede se scelgo un tasso dello 0%?

La formula evita la divisione per zero e distribuisce semplicemente il capitale in modo uniforme su tutti i periodi, così ogni pagamento è il capitale diviso per il numero di periodi e gli interessi totali sono zero.