Calcolatore di prelievi da investimenti

Che cos’è un calcolatore di prelievi da investimenti?

Un calcolatore di prelievi da investimenti — chiamato anche calcolatore di decumulo o di esaurimento — risponde a una singola domanda chiave della pianificazione previdenziale: se continuo a prelevare un importo fisso da un saldo che genera ancora un rendimento, per quanto tempo durerà il denaro? Indichi quanto possiedi oggi, il rendimento che ti aspetti, quanto prelevi in ogni periodo e con quale frequenza. Lo strumento riporta il tempo necessario perché il saldo raggiunga lo zero, oppure ti dice che il capitale si autosostiene e non si esaurisce mai.

È l’immagine speculare di una proiezione di risparmio. Un calcolatore del valore futuro fa crescere un saldo in avanti mentre versi denaro; un calcolatore di prelievi riduce il saldo mentre prelevi denaro, compensando ogni prelievo con il rendimento che genera il saldo residuo.

Come funziona il calcolatore?

Fornisci un saldo iniziale, un tasso di rendimento annuo, l’importo di ogni prelievo e la frequenza con cui prelevi (mensile, trimestrale o annuale). Il calcolatore converte il tasso annuo in un tasso per periodo di prelievo e determina quindi quanti periodi il saldo può sostenere il prelievo prima di arrivare a zero.

In ogni periodo accadono due cose: il saldo genera un rendimento e tu effettui un prelievo. Se il prelievo è maggiore del rendimento ottenuto, il saldo si riduce un po’; ripetendolo, alla fine si svuota. Se il prelievo è minore o uguale al rendimento, il saldo non cala mai — vivi dei soli interessi — e il calcolatore segnala che dura a tempo indeterminato. Il conteggio finale dei periodi viene convertito in una durata in linguaggio naturale come “10 anni e 2 mesi”.

Formula

Con un saldo iniziale $PV$, un prelievo $PMT$ effettuato in ogni periodo e un rendimento $r$ per periodo, il numero di periodi $n$ fino all’esaurimento del saldo è:

$n = -\frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{PV \cdot r}{PMT}\right)}{\ln(1 + r)}$

Dove:

• $PV$ è il saldo iniziale.
• $PMT$ è l’importo prelevato in ogni periodo.
• $r$ è il tasso di rendimento per periodo.
• $n$ è il numero di periodi di prelievo per cui il saldo dura.

Il tasso periodico deriva dal tasso annuo e dal numero di prelievi all’anno $k$ (12 mensile, 4 trimestrale, 1 annuale):

$r = \frac{\text{annual rate}}{100 \cdot k}$

Quando il saldo non si esaurisce mai

La quantità $PV \cdot r$ è il rendimento che il saldo genera in un periodo. Se il prelievo non lo supera, il saldo si autosostiene:

$PMT \le PV \cdot r \;\Rightarrow\; \text{lasts indefinitely}$

Matematicamente il termine all’interno del logaritmo diventa zero o negativo e $n$ non è definito, il che è il segnale per il calcolatore di riportare una durata illimitata.

Tasso di rendimento nullo

Quando il rendimento è zero, la formula dividerebbe per zero, quindi si riduce a una semplice divisione: il saldo viene semplicemente ripartito in modo uniforme tra i prelievi:

$n = \frac{PV}{PMT}$

Esempi di utilizzo

1. Un saldo di 100.000 che rende il 4% all’anno, con 1.000 prelevati alla fine di ogni mese:

   • Saldo iniziale $PV$ = 100000
   • Tasso periodico $r = \dfrac{4}{100 \cdot 12} \approx 0.0033333$
   • Prelievo $PMT$ = 1000

   Poiché $PV \cdot r = 333{,}33$ è minore del prelievo di 1.000, il saldo si esaurisce:

   $n = -\frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{100000 \cdot 0.0033333}{1000}\right)}{\ln(1.0033333)} = -\frac{\ln(0.66667)}{0.0033278} \approx 121.8 \text{ months}$

   Sono circa 10 anni e 2 mesi, e il totale prelevato in questo tempo è di circa $1000 \times 121.8 \approx 121{,}842$.

2. Lo stesso saldo di 100.000 che rende il 6% all’anno, ma prelevando solo 400 al mese:

   • Tasso periodico $r = \dfrac{6}{100 \cdot 12} = 0.005$
   • Rendimento ottenuto ogni mese $PV \cdot r = 100000 \times 0.005 = 500$

   Il prelievo di 400 è inferiore ai 500 ottenuti, quindi il saldo in realtà cresce invece di ridursi. Il calcolatore segnala che il saldo dura a tempo indeterminato.

Note pratiche

• Il risultato presuppone un rendimento costante in ogni periodo. I mercati reali non offrono un tasso uniforme, e una serie di rendimenti scarsi all’inizio (rischio di sequenza dei rendimenti) può svuotare un saldo molto più velocemente di quanto suggerisca il tasso medio.
• Qui i prelievi sono in termini nominali. Se ti serve lo stesso potere d’acquisto ogni anno, aumenta il prelievo per l’inflazione e tratta il rendimento come un tasso reale (al netto dell’inflazione).
• Il punto di pareggio è dove il prelievo eguaglia il rendimento ottenuto, $PMT = PV \cdot r$. Preleva un pochino di meno e il saldo dura per sempre; un po’ di più, e alla fine si esaurirà.
• Una regola approssimativa da cui partono molti pianificatori è prelevare circa il 4% del saldo iniziale all’anno — deliberatamente al di sotto dei rendimenti tipici di lungo periodo — affinché il capitale duri per una lunga pensione.

Domande frequenti

Che cosa significa “dura a tempo indeterminato”?

Significa che il prelievo è abbastanza piccolo perché il rendimento che il saldo genera in ogni periodo lo copra, così il saldo non scende mai a zero. In pratica spendi solo la crescita e lasci intatto il capitale.

Devo usare un tasso di rendimento nominale o reale?

Usa quello che corrisponde ai tuoi prelievi. Se l’importo del tuo prelievo è fissato in denaro di oggi e non aumenta mai, un rendimento reale (corretto per l’inflazione) mantiene onesta la proiezione. Se il prelievo stesso cresce con l’inflazione, modellalo separatamente — un singolo prelievo fisso non può coglierlo.

Perché la risposta è più breve del dividere il saldo per il prelievo?

Solo quando il rendimento è zero il saldo dura esattamente $PV / PMT$ periodi. Con un rendimento positivo, i guadagni prolungano la durata, quindi il saldo dura più di una semplice divisione — a meno che il prelievo non sia così grande da sommergere il rendimento, nel qual caso i due valori sono vicini.