Calcolatrice della lunghezza della corda

Cos’è una calcolatrice della lunghezza della corda?

Una corda è un segmento di retta i cui due estremi giacciono entrambi su un cerchio. La corda più lunga di un cerchio è il suo diametro; ogni altra corda è più corta ed è “sottesa” da un certo angolo centrale — l’angolo formato al centro dai due raggi tracciati verso gli estremi della corda.

Questa calcolatrice trova uno qualunque dei tre valori — lunghezza della corda, raggio o angolo centrale — quando gli altri due sono noti. L’angolo può essere inserito in gradi o radianti, e il raggio e la corda possono essere inseriti in qualsiasi unità di misura di lunghezza comune.

Concetti chiave

• Raggio (r) — la distanza dal centro del cerchio a un punto sul suo perimetro.
• Angolo centrale (θ) — l’angolo formato al centro del cerchio dai due raggi tracciati verso gli estremi della corda.
• Corda (c) — la distanza in linea retta tra i due estremi dell’arco, che taglia il cerchio invece di seguirne la curva.
• Diametro — il caso particolare di una corda che passa per il centro. Ha lunghezza $2r$ e corrisponde a un angolo centrale di 180°.

La corda e la lunghezza dell’arco descrivono la stessa coppia di estremi da due prospettive diverse: la corda è la scorciatoia in linea retta, l’arco è il percorso lungo il cerchio.

Come funziona la calcolatrice?

La corda, i due raggi verso i suoi estremi e la perpendicolare abbassata dal centro formano due triangoli rettangoli congruenti. Metà della corda, il raggio e metà dell’angolo centrale soddisfano

che, riarrangiata, fornisce le formule utilizzate dalla calcolatrice.

Formule

Corda dal raggio e dall’angolo centrale:

Raggio dalla corda e dall’angolo centrale:

Angolo centrale dalla corda e dal raggio:

In gradi, sostituisci $\theta$ con $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$, oppure leggi l’angolo direttamente dalla calcolatrice dopo aver cambiato il selettore di unità.

Esempi svolti

Esempio 1: corda dal raggio e dall’angolo

Un cerchio ha un raggio di 10 cm e un angolo centrale di 60°. La corda tagliata da quell’angolo è

Questa è la nota identità secondo cui la corda di un angolo di 60° è uguale al raggio — il triangolo formato è equilatero.

Esempio 2: corda uguale al diametro a 180°

Per un raggio di 5 m e un angolo centrale di 180° (ovvero $\pi$ radianti), la corda si estende per tutto il cerchio:

Questo è il diametro del cerchio.

Esempio 3: raggio dalla corda e dall’angolo

Una corda lunga 10 cm è tagliata da un angolo centrale di 60°. Il raggio del cerchio è

Esempio 4: angolo dalla corda e dal raggio

Una corda lunga 10 cm è tracciata in un cerchio di raggio 10 cm. L’angolo centrale è

Esempio 5: corda di un quarto di cerchio

Per un angolo di 90° su un cerchio di raggio 1, la corda è $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$, mentre la lunghezza dell’arco dello stesso angolo è $\pi/2 \approx 1.5708$. L’arco è sempre leggermente più lungo della corda.

Usi pratici

• Ingegneria — disposizione di cinghie e pulegge, dove la distanza in linea retta tra i punti di contatto su due ruote è una corda di ciascuna ruota.
• Architettura e falegnameria — misurare la luce di un arco o di una finestra curva, dove la corda dà la campata e la lunghezza dell’arco dà il materiale necessario lungo la curva.
• Topografia — fissare posizioni sul terreno a partire da punti di riferimento circolari; le misure di corda sono più facili da tracciare rispetto agli archi.
• Astronomia — calcolare il diametro apparente di corpi lontani, dove la corda lungo una sezione trasversale circolare corrisponde all’estensione osservata.
• Geometria e trigonometria — la relazione corda/angolo è una delle definizioni originarie della funzione seno e compare ancora nei calcoli relativi a settore circolare e segmento.

Note

• La corda non può mai essere più lunga del diametro ($c \le 2r$). Se inserisci una corda più lunga, l’angolo è indefinito e la calcolatrice non restituisce alcun risultato.
• Un angolo di 0° dà una corda pari a 0 — gli estremi coincidono.
• Un angolo di 180° dà il diametro; angoli maggiori di 180° si avvolgono e danno la stessa corda del loro supplemento (ad esempio, 200° e 160° danno corde identiche).
• Quando si risolve per il raggio a partire da una corda e da un angolo, l’angolo non può essere 0; quando si risolve per l’angolo, il raggio non può essere 0.
• Raggio e corda condividono le unità: il cambio del selettore di unità riconverte automaticamente il risultato.