Calcolatore del prodotto vettoriale

Cos’è un calcolatore del prodotto vettoriale?

Un calcolatore del prodotto vettoriale trova il vettore che risulta dalla moltiplicazione di due vettori tridimensionali tramite il prodotto vettoriale (o prodotto esterno). A differenza del prodotto scalare, che restituisce un singolo numero, il prodotto vettoriale restituisce un nuovo vettore. Quel vettore è perpendicolare a entrambi i vettori originali e la sua lunghezza è uguale all’area del parallelogramma che essi sottendono.

Dati due vettori $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ e $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$, questo strumento restituisce le tre componenti di $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Formula

Il prodotto vettoriale è definito componente per componente come:

Quindi le tre componenti di uscita sono:

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

Come si usa

1. Inserisci le tre componenti del vettore $\mathbf{a}$: $a_x$, $a_y$ e $a_z$.
2. Inserisci le tre componenti del vettore $\mathbf{b}$: $b_x$, $b_y$ e $b_z$.
3. Una volta riempiti tutti e sei i valori, il calcolatore visualizza $c_x$, $c_y$ e $c_z$ — le componenti del vettore risultante $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

I valori negativi sono pienamente supportati. L’ordine conta: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$, quindi scambiare i due vettori inverte il segno di ogni componente.

Esempio svolto

Prendi $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ e $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

Quindi $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$.

FAQ

Perché il prodotto vettoriale è un vettore mentre il prodotto scalare è un numero?

Il prodotto scalare misura quanto due vettori puntano nella stessa direzione, il che è una singola grandezza scalare. Il prodotto vettoriale misura invece l’area orientata che essi sottendono e punta in una direzione perpendicolare a entrambi, quindi ha naturalmente bisogno di tre componenti per descrivere sia quella grandezza che quella direzione.

Cosa significa se il prodotto vettoriale è il vettore nullo?

Se $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$, i due vettori sono paralleli (oppure uno di essi è il vettore nullo). I vettori paralleli non sottendono alcuna area, quindi il risultato perpendicolare si riduce a nulla.