Calcolatore di MCD (Massimo Comun Divisore)

Che cos’è il massimo comun divisore?

Il massimo comun divisore (MCD), detto anche massimo fattore comune, è il più grande numero intero positivo che divide ogni numero di un dato insieme senza lasciare resto. Per esempio, il MCD di 12 e 18 è 6, perché 6 è il numero più grande che divide esattamente sia 12 sia 18.

Questo calcolatore trova il MCD di due o più numeri interi positivi. Come extra, riporta anche il minimo comune multiplo (mcm): il più piccolo numero intero positivo che è multiplo di ogni numero dell’insieme.

Come funziona il calcolatore?

Inserisci i tuoi numeri nelle righe ripetibili — aggiungine quante ne servono. Il calcolatore ignora le righe vuote e richiede almeno due numeri per produrre un risultato. Applica quindi l’algoritmo di Euclide all’intero elenco per ottenere il MCD e usa quel risultato per calcolare il mcm.

L’algoritmo di Euclide trova il MCD di due numeri sostituendo ripetutamente il numero più grande con il resto della divisione del maggiore per il minore, finché il resto è zero. L’ultimo valore diverso da zero è il MCD. Per gestire un intero elenco, il MCD si calcola a coppie: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c), e così via.

Formule

Il MCD di un elenco di numeri si calcola ripiegando il MCD a coppie:

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

Il mcm di due numeri deriva direttamente dal loro MCD:

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

Esempi svolti

1. Due numeri: $\gcd(12, 18) = 6$ e $\text{lcm}(12, 18) = 36$. I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 e quelli di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18; il divisore comune più grande è 6.

2. Tre numeri: $\gcd(8, 12, 16) = 4$. Ognuno di 8, 12 e 16 è divisibile per 4, e nulla di più grande divide tutti e tre.

3. Numeri coprimi: $\gcd(7, 13) = 1$. Sia 7 sia 13 sono primi, quindi non condividono alcun divisore comune oltre a 1 — sono coprimi.

4. Insieme più grande: $\gcd(100, 75, 50) = 25$. Il numero 25 divide tutti e tre, mentre 50 non divide 75.

Note pratiche

• Semplificare le frazioni: Dividere numeratore e denominatore per il loro MCD riduce una frazione ai minimi termini. Vedi il calcolatore per semplificare le frazioni.
• Sommare le frazioni: Il mcm dei denominatori dà il minimo comune denominatore, che facilita la somma delle frazioni — utile insieme al calcolatore di addizione.
• Solo numeri interi positivi: Il MCD è definito per i numeri interi. I decimali e i segni negativi non hanno senso qui, quindi gli inserimenti non interi non sono previsti.
• mcd(a, 0) = a: Per convenzione, il massimo comun divisore di un qualsiasi numero e zero è il numero stesso, il che mantiene il calcolo ben definito quando compaiono degli zeri.