Calcolatrice dell'equazione della retta da due punti

Che cos’è l’equazione della retta da due punti?

Due punti distinti qualsiasi che non siano allineati verticalmente determinano esattamente una retta. Questa calcolatrice prende le coordinate di quei due punti, $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, e restituisce l’equazione della retta in forma esplicita:

$$y = mx + b$$

dove $m$ è la pendenza (quanto è ripida la retta) e $b$ è l’intercetta sull’asse y (dove la retta attraversa l’asse verticale). La calcolatrice riporta la pendenza, l’intercetta sull’asse y e l’equazione assemblata.

Come funziona?

Il calcolo avviene in due passaggi.

Passaggio 1 — la pendenza. La pendenza è il rapporto tra la variazione verticale e la variazione orizzontale tra i due punti:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Passaggio 2 — l’intercetta sull’asse y. Una volta nota la pendenza, sostituisci uno dei due punti in $y = mx + b$ e risolvi per $b$:

$$b = y_1 - m \, x_1$$

Con $m$ e $b$ a disposizione, l’equazione è semplicemente $y = mx + b$.

Esempi svolti

Esempio 1: una retta passante per l’origine

Per i punti $(0, 0)$ e $(2, 4)$:

$$m = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2, \qquad b = 0 - 2 \times 0 = 0$$

L’equazione è $y = 2x$. Poiché l’intercetta sull’asse y è zero, la retta passa per l’origine.

Esempio 2: pendenza positiva con intercetta negativa

Per i punti $(1, 1)$ e $(3, 7)$:

$$m = \frac{7 - 1}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3, \qquad b = 1 - 3 \times 1 = -2$$

L’equazione è $y = 3x - 2$. La retta attraversa l’asse y due unità sotto l’origine.

Esempio 3: una retta orizzontale

Per i punti $(1, 2)$ e $(5, 2)$:

$$m = \frac{2 - 2}{5 - 1} = 0, \qquad b = 2 - 0 \times 1 = 2$$

L’equazione è $y = 0x + 2$, scritta più semplicemente $y = 2$. Una pendenza nulla significa che la retta è piatta.

E le rette verticali?

Se i due punti condividono la stessa coordinata x ($x_1 = x_2$), la distanza orizzontale $x_2 - x_1$ è zero e la pendenza è indefinita — non puoi dividere per zero. Una retta di questo tipo è verticale e la sua equazione è $x = x_1$, che non può essere scritta nella forma $y = mx + b$. In questo caso la calcolatrice lascia vuote la pendenza, l’intercetta sull’asse y e l’equazione.

Note

• La sola pendenza indica la direzione della retta; abbina questo strumento alla calcolatrice della pendenza se è tutto ciò che ti serve.
• L’ordine dei due punti non ha importanza. Scambiandoli si cambiano i segni sia del numeratore sia del denominatore della pendenza, lasciando $m$ invariata, e l’intercetta sull’asse y risulta la stessa.
• La calcolatrice del punto medio trova il punto a metà strada tra le due coordinate, che si trova sempre su questa stessa retta.

Domande frequenti

Qual è l’equazione della retta passante per (1,1) e (3,7)?

La pendenza è $3$ e l’intercetta sull’asse y è $-2$, quindi l’equazione è $y = 3x - 2$.

Come trovo l’intercetta sull’asse y da due punti?

Prima calcola la pendenza $m$, poi inserisci un punto in $b = y_1 - m x_1$. Per $(1,1)$ con $m = 3$, si ottiene $b = 1 - 3 = -2$.

Perché non c’è equazione per due punti verticali?

Quando entrambi i punti hanno la stessa coordinata x la retta è verticale, la sua pendenza è indefinita e non può essere espressa come $y = mx + b$. La sua equazione è invece $x = x_1$.