Calcolatore di ottagono

Che cos’è un calcolatore di ottagono?

Il calcolatore di ottagono è un unico strumento che descrive un ottagono regolare — la figura a otto lati con lati e angoli uguali, lo stesso contorno di un segnale di stop. Inserisci una misura e restituisce tutte le altre grandezze contemporaneamente: la lunghezza del lato, l’area, il perimetro, le tre diagonali, il raggio del cerchio circoscritto e il raggio del cerchio inscritto. È utile per gli studenti che controllano i compiti di geometria, per gli artigiani che tagliano una cornice ottagonale o un piano da tavolo, e per chiunque tracci un gazebo, un disegno di pavimentazione o un cartello.

Proprietà di un ottagono regolare

Un ottagono regolare ha otto lati uguali e otto angoli interni di 135 gradi ciascuno. Poiché gli otto vertici non sono tutti alla stessa distanza tra loro, un ottagono ha tre diagonali distinte invece delle due di un esagono:

• Diagonale più lunga unisce due vertici opposti e passa per il centro; è la larghezza totale della figura.
• Diagonale media unisce due vertici con due vertici in mezzo.
• Diagonale più corta unisce due vertici saltando un solo vertice.

Il raggio del cerchio circoscritto è la distanza dal centro a un vertice, e il raggio del cerchio inscritto (chiamato anche apotema) è la distanza dal centro al punto medio di un lato.

Come funziona il calcolatore?

Digita un valore in un campo qualsiasi e il calcolatore recupera prima la lunghezza del lato da esso, quindi compila ogni proprietà rimanente. Così puoi partire dal lato, dall’area, dal perimetro, da una delle tre diagonali, dal raggio del cerchio circoscritto o dal raggio del cerchio inscritto, e otterrai sempre una descrizione completa dell’ottagono. Ogni campo di lunghezza accetta unità diverse, e le conversioni tra esse avvengono automaticamente.

Formule

Con lunghezza del lato $a$, l’area di un ottagono regolare è:

Il perimetro è otto volte il lato:

Le tre diagonali — la più lunga $D$, la media $M$ e la più corta $d$ — sono:

Il raggio del cerchio circoscritto $R$ è la metà della diagonale più lunga, e il raggio del cerchio inscritto $r$ (l’apotema) è la metà della diagonale media:

dove $A$ è l’area, $P$ il perimetro, $D$, $M$ e $d$ le diagonali più lunga, media e più corta, $R$ il raggio del cerchio circoscritto, $r$ il raggio del cerchio inscritto e $a$ la lunghezza del lato.

Esempi

1. Un ottagono regolare con un lato di 5 cm:

2. Procedendo a ritroso da un perimetro di 40 cm, il lato è $40 / 8 = 5$ cm, il che riproduce tutti i valori precedenti.

Note pratiche

• La diagonale più lunga è l’intera estensione di un ottagono a lati piatti, quindi è il diametro del cerchio più piccolo che contiene la figura; il raggio del cerchio circoscritto ne è esattamente la metà.
• Il raggio del cerchio inscritto è l’apotema — il raggio del cerchio più grande che entra nell’ottagono — ed è utile per adattare un ottagono attorno a un oggetto rotondo.
• Per figure con un numero diverso di lati, il calcolatore dell’area di un poligono regolare generalizza la formula dell’area, e il calcolatore di esagono tratta il caso a sei lati.

Domande frequenti

Come trovo l’area di un ottagono regolare?

Eleva al quadrato la lunghezza del lato e moltiplica per $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$. Per un lato di 5 l’area è $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$.

Qual è la differenza tra le tre diagonali?

La diagonale più lunga unisce vertici opposti e passa per il centro, pari a $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$. La diagonale media salta due vertici ed è pari a $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$. La diagonale più corta salta un vertice ed è pari a $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Che cos’è l’apotema di un ottagono?

L’apotema è il raggio del cerchio inscritto — la distanza dal centro al punto medio di un lato. Per un ottagono regolare è pari a $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$, circa 1,207 volte il lato.

Quanto è largo un ottagono regolare?

La larghezza tra lati opposti è il doppio del raggio del cerchio inscritto, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, che è anche la diagonale media. La larghezza tra vertici opposti è la diagonale più lunga, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.