Calcolatore di probabilità

Che cos’è un calcolatore di probabilità?

Un calcolatore di probabilità determina quanto sono probabili le combinazioni di due eventi una volta note le probabilità di ciascuno preso singolarmente. Inserisci la probabilità dell’evento $A$ e la probabilità dell’evento $B$ come percentuali, e il calcolatore restituisce quattro probabilità combinate: entrambi gli eventi insieme, almeno uno di essi, nessuno dei due e $A$ che si verifica mentre $B$ no.

Questo strumento presuppone che i due eventi siano indipendenti — l’esito di uno non ha alcun effetto sull’esito dell’altro. Lanciare un dado e lanciare una moneta, oppure due macchine separate ciascuna con un tasso di guasto fisso, sono esempi classici di eventi indipendenti.

Come funziona il calcolatore?

Fornisci due dati, ciascuno compreso tra 0% e 100%:

• P(A) — la probabilità che si verifichi l’evento $A$.
• P(B) — la probabilità che si verifichi l’evento $B$.

Poiché gli eventi sono indipendenti, le probabilità congiunte derivano direttamente dalla moltiplicazione. Lavorando in percentuali, ogni prodotto viene diviso per 100 per mantenere il risultato su una scala da 0 a 100%. Il calcolatore riporta quindi:

• P(A e B) — entrambi gli eventi si verificano.
• P(A o B) — si verifica almeno uno dei due eventi.
• P(né A né B) — non si verifica nessuno dei due eventi.
• P(A ma non B) — $A$ si verifica mentre $B$ no.

Formula

Per due eventi indipendenti con probabilità $p_A$ e $p_B$ (scritte come decimali):

Quando i dati sono inseriti come percentuali, ogni termine prodotto viene diviso per 100. Ad esempio $P(A \cap B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B)}{100}$ con $P(A)$ e $P(B)$ in percentuale.

Esempi svolti

1. Due monete eque, P(A) = P(B) = 50%. Entrambe teste: $50 \times 50 / 100 = 25\%$. Almeno una testa: $50 + 50 - 25 = 75\%$. Nessuna testa: $50 \times 50 / 100 = 25\%$. La prima testa ma non la seconda: $50 \times 50 / 100 = 25\%$.

2. P(A) = 20%, P(B) = 30%. Entrambi: $20 \times 30 / 100 = 6\%$. Almeno uno: $20 + 30 - 6 = 44\%$. Nessuno: $80 \times 70 / 100 = 56\%$. A ma non B: $20 \times 70 / 100 = 14\%$.

Note

• I quattro risultati sono collegati: $P(A \cup B)$ e $P(\text{neither})$ danno sempre come somma 100%, perché «almeno uno» e «nessuno» sono esiti complementari.
• L’indipendenza è l’ipotesi chiave. Se sapere che $A$ si è verificato cambia la probabilità di $B$, gli eventi sono dipendenti e serve invece la probabilità condizionata — vedi il calcolatore del teorema di Bayes.
• Per combinare lo stesso evento in molte prove ripetute (come diversi lanci di moneta di fila), usa il calcolatore di probabilità del lancio di una moneta, che applica la distribuzione binomiale.

Domande frequenti

Le probabilità devono dare come somma 100%? No. $P(A)$ e $P(B)$ sono dati indipendenti e ciascuno può essere qualsiasi valore tra 0% e 100%. Descrivono due eventi separati, non due esiti di un unico evento.

Che cosa significa «indipendente» qui? Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di uno non cambia la probabilità dell’altro. Solo in condizioni di indipendenza vale $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Come gestisco eventi mutuamente esclusivi? Se due eventi non possono verificarsi entrambi, non sono indipendenti e $P(A \cap B) = 0$. Questo calcolatore è progettato per eventi indipendenti, quindi non è lo strumento adatto per quelli mutuamente esclusivi.