Calcolatore della statistica t

Che cos’è una statistica t?

Una statistica t misura quanto la media di un campione si allontana da una media della popolazione ipotizzata, scalata in base alla variabilità del campione stesso. È l’elemento centrale del test t a un campione: raccogli un campione, confronti la sua media con un valore obiettivo e la statistica t indica quanto sia sorprendente quella differenza in unità di errore standard. Una statistica t vicina a 0 significa che la media campionaria è prossima alla media della popolazione; un valore grande positivo o negativo significa che il campione ne è lontano.

La statistica t è strettamente legata al punteggio Z, ma utilizza la deviazione standard campionaria invece di una deviazione standard della popolazione nota. Proprio questa sostituzione è il motivo per cui esiste la distribuzione t: ha code leggermente più pesanti rispetto alla distribuzione normale per tenere conto dell’incertezza aggiuntiva derivante dalla stima della dispersione da un campione piccolo.

Come funziona il calcolatore?

Inserisci la media campionaria, la media della popolazione con cui confronti, la deviazione standard campionaria e la dimensione del campione. Il calcolatore restituisce la statistica t a un campione:

Dove:

• x̄ è la media campionaria.
• μ₀ è la media della popolazione indicata nell’ipotesi nulla.
• s è la deviazione standard campionaria, che deve essere maggiore di zero.
• n è la dimensione del campione, che deve essere almeno uno.

Il denominatore s / √n è l’errore standard della media — la distanza tipica tra una media campionaria e la media vera. Dividere la differenza grezza per l’errore standard la trasforma in una statistica test priva di unità che puoi confrontare con una distribuzione t con n − 1 gradi di libertà.

Esempi svolti

1. Un campione sopra l’obiettivo. Un campione di n = 25 ha media x̄ = 130 rispetto a una media della popolazione di μ₀ = 120, con deviazione standard campionaria s = 15. $t = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{25}} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$ La media campionaria è circa 3,33 errori standard sopra la media ipotizzata.

2. Un piccolo spostamento positivo. Con x̄ = 10.5, μ₀ = 10, s = 2 e n = 16: $t = \frac{10.5 - 10}{2 / \sqrt{16}} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ La media campionaria è esattamente un errore standard sopra l’obiettivo.

3. Un campione sotto l’obiettivo. Con x̄ = 98, μ₀ = 100, s = 5 e n = 25: $t = \frac{98 - 100}{5 / \sqrt{25}} = \frac{-2}{1} = -2$ Il segno negativo mostra che la media campionaria si colloca due errori standard sotto la media ipotizzata.

Note pratiche

• La deviazione standard campionaria deve essere positiva. Un valore di zero significherebbe che i dati non hanno dispersione, lasciando l’errore standard — e la statistica t — indefiniti.
• Per valutare la significatività, confronta la statistica t con un valore critico della distribuzione t con n − 1 gradi di libertà, oppure convertila in un valore p.
• Per campioni grandi la distribuzione t converge alla distribuzione normale, quindi la statistica t e il punteggio Z diventano quasi identici.
• Usa questa formula a un campione quando confronti una singola media campionaria con un valore di riferimento fisso; un test a due campioni usa un denominatore diverso.

FAQ

Una statistica t può essere negativa?

Sì. Una statistica t negativa significa semplicemente che la media campionaria è inferiore alla media della popolazione con cui stai confrontando. Il segno indica la direzione, mentre il valore assoluto indica la distanza in unità di errore standard.

Qual è la differenza tra una statistica t e un punteggio Z?

Entrambi misurano la distanza da un valore di riferimento, ma il punteggio Z divide per una deviazione standard della popolazione nota, mentre la statistica t divide per l’errore standard costruito a partire dalla deviazione standard campionaria. La statistica t è la scelta giusta quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta. Vedi il calcolatore del punteggio Z per il caso con deviazione standard della popolazione nota.

Cosa sono i gradi di libertà?

Per un test t a un campione i gradi di libertà sono pari a n − 1. Descrivono la forma della distribuzione t con cui confronti la statistica: meno gradi di libertà danno code più pesanti e un test più conservativo.

Perché la deviazione standard campionaria deve essere maggiore di zero?

La formula divide per l’errore standard s / √n. Se s fosse zero, la divisione sarebbe indefinita, e un campione senza variabilità non può sostenere un test significativo.