円の弓形面積計算機

円の弓形とは？

円の弓形とは、弦と、その弦が切り取る弧によって囲まれた円板の領域のことです。完全なパイ片（扇形）を想像し、弧の両端と中心を結ぶ三角形のくさびを取り除いてください — 残ったものが弓形です。それは弦と弧の間にある曲線状の「キャップ」です。

弓形は2つの値に依存します：円の半径 $r$ と、中心で弦が張る中心角 $\theta$ です。角度は度、ラジアン、グラジアンで指定でき、この計算機は内部で変換を行います。

主要な概念

• 半径（r） — 円の中心からその境界上の点までの距離。
• 中心角（θ） — 弦の両端に引かれた2本の半径によって中心に形成される角度。
• 弦 — 弧の両端を結ぶ直線。
• 弧 — 弓形の曲線状の境界であり、弦の反対側にあるもの。
• 扇形 — 弧と2本の半径で囲まれたパイ片状の領域。
• 三角形 — 2辺が $r$ に等しく、挟まれた角が $\theta$ である二等辺三角形。

計算機の仕組み

弓形は、扇形から三角形を取り除いた残りです：

$$A_{\text{segment}} = A_{\text{sector}} - A_{\text{triangle}}$$

$\theta$ がラジアンの場合、扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta$ で、2本の半径によって形成される二等辺三角形の面積は $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$ です。一方から他方を引くと標準的な公式が得られます。

公式

$\theta$ がラジアンの場合：

$$A = \frac{r^2}{2} \bigl(\theta - \sin\theta\bigr)$$

$\theta$ が度で与えられている場合、まず $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ でラジアンに変換してから公式に代入します。

計算例

例1：小さな弓形、60°

半径10 cmの円があります。弦は中心角60°を切り取ります。

変換：$\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472$。

$$A = \frac{10^2}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \sin 60° \right) = 50 \cdot (1.0472 - 0.8660) \approx 9.0586 \text{ cm}^2$$

例2：半円、π ラジアン

半径5 cm、中心角 $\pi$ ラジアン（180°）の場合、弦は直径になり、弓形は円板のちょうど半分になります：

$$A = \frac{5^2}{2} \bigl(\pi - \sin\pi\bigr) = \frac{25}{2} \cdot \pi \approx 39.270 \text{ cm}^2$$

例3：四分円から三角形を引いた場合、90°

半径10 cm、中心角90°の場合：

$$A = \frac{10^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin 90° \right) = 50 \cdot \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \approx 28.5398 \text{ cm}^2$$

これは直観と一致します：四分扇形の面積は $25\pi \approx 78.54$ cm²、直角三角形の面積は $50$ cm²、その差が弓形です。

実用例

• 工学 — 部分的に満たされた円形タンクやパイプの断面積を流体問題のために計算する（一部だけ満たされている場合に円の面積計算機が使用するのと同じ計算です）。
• 建設および建築 — 窓、アーチ、円の曲線状のキャップが設計要素となる凹み部分の寸法決め。
• 製造 — 円形のキャップ形状を持つプレス、切断、機械加工部品の材料見積もり。
• 土木工学 — 満杯ではない円形チャネル断面の土工量の推定。
• 幾何学および三角法 — 円のセクター面積計算機および弦の長さ計算機との関係の検証。

注釈

• 角度は正でなければなりません。0°の角度は面積ゼロの退化した弓形になります。
• $\theta = 2\pi$（360°）の場合、公式は円全体の面積を返します。
• 「小さい方」の弓形は180°未満の角度に対応します。180°を超える角度の場合、公式は中心を含む大きな「大きい方」の弓形を与えます。
• 半径と面積の単位は整合している必要があります：メートル単位の半径は平方メートル単位の面積を生成します。単位セレクターは結果を自動的に再変換します。
• 結果は $\pi$ およびサイン関数の精度まで正確であり、丸め誤差は日常的な使用では無視できます。