クロス積計算機

クロス積計算機とは？

クロス積計算機は、クロス積（またはベクトル積）を使って2つの3次元ベクトルを掛け合わせた結果のベクトルを求めます。単一の数値を返すドット積とは異なり、クロス積は新しいベクトルを返します。そのベクトルは元の2つのベクトルの両方に垂直で、その長さは両者が張る平行四辺形の面積に等しくなります。

2つのベクトル $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ と $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$ が与えられると、このツールは $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ の3つの成分を返します。

公式

クロス積は成分ごとに次のように定義されます：

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$$

したがって、3つの出力成分は：

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

使い方

1. ベクトル $\mathbf{a}$ の3つの成分 $a_x$、$a_y$、$a_z$ を入力します。
2. ベクトル $\mathbf{b}$ の3つの成分 $b_x$、$b_y$、$b_z$ を入力します。
3. 6つの値がすべて入力されると、計算機は結果ベクトル $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ の成分である $c_x$、$c_y$、$c_z$ を表示します。

負の入力も完全に対応しています。順序が重要です：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ なので、2つのベクトルを入れ替えるとすべての成分の符号が反転します。

計算例

$\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ と $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$ をとります。

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

したがって $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$ となります。

よくある質問

なぜクロス積はベクトルで、ドット積は数値なのですか？

ドット積は2つのベクトルがどれだけ同じ方向を向いているかを測定し、これは単一のスカラー量です。一方、クロス積は両者が張る向き付けられた面積を測定し、両方に垂直な方向を指すため、その大きさと方向の両方を記述するために自然と3つの成分が必要になります。

クロス積がゼロベクトルになる場合、何を意味しますか？

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$ の場合、2つのベクトルは平行です（またはどちらかがゼロベクトルです）。平行なベクトルは面積を張らないため、垂直な結果は何もない状態に縮退します。