最大公約数（GCF）計算機

最大公約数とは？

最大公約数（GCF）は、最大公約数（GCD）とも呼ばれ、与えられた集合のすべての数を余りなく割り切る最大の正の整数です。たとえば、12 と 18 の最大公約数は 6 です。6 は 12 と 18 の両方を割り切る最大の数だからです。

この計算機は、2つ以上の正の整数の最大公約数を求めます。さらに、おまけとして最小公倍数（LCM）も表示します。最小公倍数とは、集合のすべての数の倍数である最小の正の整数です。

この計算機の仕組みは？

繰り返し可能な行に数を入力してください。必要なだけ追加できます。計算機は空の行を無視し、結果を出すには少なくとも2つの数が必要です。次に、リスト全体にユークリッドの互除法を適用して最大公約数を求め、その結果を使って最小公倍数を計算します。

ユークリッドの互除法は、大きい方の数を、大きい方を小さい方で割った余りに繰り返し置き換え、余りが 0 になるまで続けることで、2つの数の最大公約数を求めます。最後の 0 でない値が最大公約数です。リスト全体を扱う場合、最大公約数は対ごとに計算します。gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c) のように続きます。

公式

数のリストの最大公約数は、対ごとの最大公約数を畳み込むことで計算されます。

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

2つの数の最小公倍数は、その最大公約数から直接導かれます。

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

計算例

1. 2つの数： $\gcd(12, 18) = 6$ かつ $\text{lcm}(12, 18) = 36$。12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12、18 の約数は 1, 2, 3, 6, 9, 18 で、共通する最大の約数は 6 です。

2. 3つの数： $\gcd(8, 12, 16) = 4$。8, 12, 16 のいずれも 4 で割り切れ、それより大きい数で3つすべてを割り切るものはありません。

3. 互いに素な数： $\gcd(7, 13) = 1$。7 も 13 も素数なので、1 以外に共通の約数を持ちません。これらは互いに素です。

4. より大きな集合： $\gcd(100, 75, 50) = 25$。25 は3つすべてを割り切りますが、50 は 75 を割り切りません。

実用的なメモ

• 分数の約分： 分子と分母を最大公約数で割ると、分数が既約形になります。分数の約分計算機をご覧ください。
• 分数の加算： 分母の最小公倍数が最小公分母を与え、分数の加算が容易になります。加算計算機と併せて便利です。
• 正の整数のみ： 最大公約数は整数に対して定義されます。小数や負の符号はここでは意味を持たないため、整数以外の入力は想定されていません。
• gcd(a, 0) = a： 慣例により、任意の数と 0 の最大公約数はその数自身です。これにより、0 が現れても計算が適切に定義されたままになります。