逆余弦（アークコサイン）計算機

逆余弦（アークコサイン）計算機とは？

逆余弦計算機は「どの角度がこのコサインを持つのか？」という問いに答えます。コサイン関数は角度を受け取り、-1から1までの比を返します。アークコサインは $\arccos$ または $\cos^{-1}$ と書かれ、その操作を逆にします。区間 $[-1, 1]$ の値 $x$ を与えると、コサインが $x$ に等しい角度 $\theta$ を返します。

この計算機は結果を度とラジアンの2つの単位で同時に表示します。そのため、度を使う幾何の問題でも、ラジアンを使う微積分や物理の問題でも便利です。

どのように機能するのか？

ある角度のコサインは、単位円上の対応する点のx座標です。-1から1までのすべての $x$ の値に対して、そのコサインを持つ角度は無限に存在するため、アークコサインは次の範囲で単一の主値を返すように定義されています。

$0 \le \theta \le 180^\circ \quad (0 \le \theta \le \pi \text{ radians})$

その関係は次のとおりです。

$\theta = \arccos(x)$

コサインは区間 $[-1, 1]$ を決して外れないため、その範囲外の入力には対応する実角度が存在せず、計算機は単に結果を返しません。

主値をラジアンから度に変換するには、$\frac{180}{\pi}$ を掛けます。

$\theta_{\deg} = \arccos(x) \times \frac{180}{\pi}$

計算例

• $\arccos(0.5) = 60^\circ$、これは約 $1.0472$ ラジアン（$\frac{\pi}{3}$）です。
• $\arccos(1) = 0^\circ$、つまり $0$ ラジアンです。ゼロ角のコサインは1だからです。
• $\arccos(0) = 90^\circ$、つまり約 $1.5708$ ラジアン（$\frac{\pi}{2}$）です。
• $\arccos(-1) = 180^\circ$、つまり約 $3.1416$ ラジアン（$\pi$）です。

$[-1, 1]$ の外側にある $2$ のような値を入力しても、コサインが1より大きい実角度は存在しないため、何も返されません。

実用的な注意点

アークコサインは、比から角度を復元する必要があるときに必ず現れます。よくある例は、2つのベクトルのなす角度に対する内積の公式です。ここで角度のコサインは、内積を大きさの積で割ったものに等しく、その比のアークコサインを取れば角度が直接得られます。また、三角形の未知の角度を求める際の余弦定理にも現れます。

既知の角度のコサインが必要な場合は、三角関数計算機を使って逆方向に計算してください。結果を度、ラジアン、グラードの間で変換するには、角度単位変換器を使用してください。