正八角形計算機

八角形計算機とは？

八角形計算機は、正八角形を一括で記述するツールです。正八角形は、辺と角がすべて等しい八辺の図形で、一時停止標識と同じ輪郭をしています。ひとつの寸法を入力すると、他のすべての量が同時に求められます。辺の長さ、面積、周長、3本の対角線、外接円半径、内接円半径です。幾何の宿題を確認する学生、八角形の枠やテーブル天板を切り出す職人、そして東屋・舗装パターン・標識を設計する人にとって便利です。

正八角形の性質

正八角形は8つの等しい辺と、それぞれ135度の8つの内角を持ちます。8つの頂点はすべてが同じ距離にあるわけではないため、八角形は六角形の2本ではなく3本の異なる対角線を持ちます。

• 最長の対角線 は向かい合う2頂点を結び、中心を通ります。これは図形の全幅です。
• 中間の対角線 は間に2頂点を挟む2頂点を結びます。
• 最短の対角線 は1頂点を飛ばす2頂点を結びます。

外接円半径は中心から任意の頂点までの距離であり、内接円半径（アポテムとも呼ばれます）は中心から任意の辺の中点までの距離です。

計算機の仕組み

任意のフィールドに値を入力すると、計算機はまずそこから辺の長さを求め、次に残りのすべての性質を埋めます。したがって、辺、面積、周長、3本の対角線のいずれか、外接円半径、または内接円半径から始めることができ、常に八角形の完全な記述が得られます。各長さフィールドは異なる単位を受け付け、それらの間の換算は自動的に行われます。

公式

辺の長さ $a$ のとき、正八角形の面積は次のとおりです。

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right) a^2$$

周長は辺の8倍です。

$$P = 8a$$

3本の対角線 — 最長 $D$、中間 $M$、最短 $d$ — は次のとおりです。

$$D = a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad M = a\left(1 + \sqrt{2}\right) \qquad d = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$$

外接円半径 $R$ は最長の対角線の半分であり、内接円半径 $r$（アポテム）は中間の対角線の半分です。

$$R = \frac{a}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad r = \frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$$

ここで $A$ は面積、$P$ は周長、$D$、$M$、$d$ は最長・中間・最短の対角線、$R$ は外接円半径、$r$ は内接円半径、$a$ は辺の長さです。

例

1. 辺が 5 cm の正八角形：

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 5^2 \approx 120.71 \text{ 平方センチメートル}$$ $$P = 8 \times 5 = 40 \text{ センチメートル}$$ $$D = 5\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \approx 13.07 \text{ センチメートル} \qquad M = 5\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 12.07 \text{ センチメートル}$$ $$d = 5\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 9.24 \text{ センチメートル}$$ $$R \approx 6.53 \text{ センチメートル} \qquad r \approx 6.04 \text{ センチメートル}$$

2. 周長 40 cm から逆算すると、辺は $40 / 8 = 5$ cm となり、上記のすべての値が再現されます。

実用上の注意

• 最長の対角線は平らな辺の八角形を横断する全幅なので、図形を含む最小の円の直径です。外接円半径はちょうどその半分です。
• 内接円半径はアポテム — 八角形の内側に収まる最大の円の半径 — であり、丸い物体の周りに八角形を合わせるときに役立ちます。
• 辺の数が異なる図形については、正多角形の面積計算機 が面積公式を一般化し、六角形計算機 が六辺の場合を扱います。

よくある質問

正八角形の面積はどう求めますか？

辺の長さを2乗し、$2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4.8284$ を掛けます。辺が5の場合、面積は $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120.71$ です。

3本の対角線の違いは何ですか？

最長の対角線は向かい合う頂点を結び中心を通り、$a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ に等しくなります。中間の対角線は2頂点を飛ばし、$a\left(1 + \sqrt{2}\right)$ に等しくなります。最短の対角線は1頂点を飛ばし、$a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ に等しくなります。

八角形のアポテムとは何ですか？

アポテムは内接円半径 — 中心から辺の中点までの距離です。正八角形ではこれは $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$ に等しく、辺の約1.207倍です。

正八角形の幅はどれくらいですか？

向かい合う辺の間の幅は内接円半径の2倍 $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$ で、これは中間の対角線でもあります。向かい合う頂点の間の幅は最長の対角線 $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ です。