比から分数への変換計算機

比から分数への変換計算機とは？

比から分数への変換計算機は、$a:b$ の形で書かれた比を $\frac{a}{b}$ と書かれた分数に変換し、その分数を既約分数まで約分します。比と分数は同じ考え方 — 2つの量の比較 — を表すため、比 $3:4$ と分数 $\frac{3}{4}$ は同じ関係を表します。この計算機は比の2つの項を取り、最初の項を分子、2番目の項を分母として扱い、結果を簡約します。

どのように機能しますか？

比の2つの部分には名前があります。前項は最初の項（$a$）で、後項は2番目の項（$b$）です。比を分数として書くのは直接的です。

$$a : b = \frac{a}{b}$$

その分数を既約分数にするには、分子と分母の両方をそれらの最大公約数（GCD）で割ります。

$$\frac{a}{b} = \frac{a \div \gcd(a, b)}{b \div \gcd(a, b)}$$

GCD は両方の項を正確に割り切る最大の整数であり、ユークリッドの互除法で求められます。両方の項をそれで割ると、分数の値を変えずに共通因数が取り除かれます。

計算例

比 $3:4$ を変換します。3 と 4 の GCD は 1 なので、この分数はすでに既約分数です。

$$3 : 4 = \frac{3}{4}$$

比 $6:8$ を変換します。6 と 8 の GCD は 2 なので、両方の項を 2 で割ります。

$$6 : 8 = \frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$$

比 $10:5$ を変換します。10 と 5 の GCD は 5 です。

$$10 : 5 = \frac{10}{5} = \frac{10 \div 5}{5 \div 5} = \frac{2}{1}$$

$\frac{2}{1}$ のような結果は、その比が整数を表すことを示します。ここでは、最初の量は2番目の量のちょうど2倍です。

実用上の注意

後項は0以外の値でなければなりません。分母が0の分数は定義されないからです。比較の向きを逆にすれば、逆方向に進んで分数を比として書くことができます。たとえば分数から比への変換計算機を使います。同じ値を代わりに1つの小数で表すには、比から小数への変換計算機を使います。

よくある質問

比は分数と同じものですか？ $a:b$ と $\frac{a}{b}$ として書かれたとき、両者は同じ数値を持ちますが、読み方が異なります。比は2つの部分を互いに比較しますが、分数は通常1つの部分を全体と比較します。両者を変換する計算は同一です。

なぜ 6:8 は 3/4 になりますか？ 6 と 8 はどちらも 2 で割り切れます。各項を最大公約数 2 で割ると、同等でより簡単な分数 $\frac{3}{4}$ が得られ、残る共通因数はありません。

10:5 のような比ではどうなりますか？ $\frac{2}{1}$ に約分され、これは単に整数 2 です。2番目の項が最初の項を正確に割り切るときはいつでも、約分された分数の分母は 1 になります。