頂点形式計算機

頂点形式計算機とは何ですか？

頂点形式計算機は、標準形式で書かれた二次方程式を取り、それを頂点形式に書き換えます。標準形式 $y = ax^2 + bx + c$ はy切片を読み取るのに便利ですが、頂点形式 $y = a(x - h)^2 + k$ は放物線の転換点を即座に明らかにします。点 $(h, k)$ が頂点です。放物線が上に開く（$a > 0$）ときは最低点、下に開く（$a < 0$）ときは最高点になります。

このツールは $h$ と $k$ を計算するため、平方完成を手作業で行わずに、放物線をグラフ化したり、その対称軸を見つけたり、最小値または最大値を読み取ったりできます。

公式

標準形式の二次方程式が与えられると、頂点座標は次のようになります。

$h = -\frac{b}{2a} \qquad k = c - \frac{b^2}{4a}$

主係数 $a$ は変更されないため、頂点形式は次のようになります。

$y = a(x - h)^2 + k$

対称軸は垂直線 $x = h$ です。

使い方

1. 係数 $a$ を入力します（ゼロであってはなりません。さもないと方程式は二次ではありません）。
2. 係数 $b$ と $c$ を入力します。
3. 計算された頂点値 $h$ と $k$ を読み取ります。頂点形式は $y = a(x - h)^2 + k$ になります。

3つの係数すべてが入力され、$a \neq 0$ になるまで、結果は空白のままです。

計算例

$y = 2x^2 - 12x + 10$ を頂点形式に変換します。ここで $a = 2$、$b = -12$、$c = 10$ です。

$h$ を計算します。

$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$k$ を計算します。

$k = c - \frac{b^2}{4a} = 10 - \frac{(-12)^2}{4 \cdot 2} = 10 - \frac{144}{8} = 10 - 18 = -8$

したがって、頂点は $(3, -8)$ であり、頂点形式は次のようになります。

$y = 2(x - 3)^2 - 8$

よくある質問

なぜ係数 a はゼロであってはならないのですか？

$a = 0$ の場合、$x^2$ の項が消え、方程式は線形 $y = bx + c$ になり、頂点がありません。両方の頂点公式も $a$ で割るため、$a = 0$ ではそれらが未定義になります。代わりに直線を分析するには、傾き計算機を参照してください。

頂点は変化率とどのように関係していますか？

頂点では放物線の瞬間的な傾きがゼロであり、これがそれが転換点である理由です。単一の点ではなく区間にわたって関数の出力がどのように変化するかを測定するには、平均変化率計算機を使用してください。