確率計算機

確率計算機とは何ですか？

確率計算機は、2つの事象それぞれ単独の確率が分かっているとき、それらの組み合わせがどれだけ起こりやすいかを求めます。事象 $A$ の確率と事象 $B$ の確率をパーセントで入力すると、計算機は4つの組み合わせ確率を返します：両方が同時に起こる、少なくとも一方が起こる、どちらも起こらない、そして $A$ が起こるが $B$ は起こらない、です。

このツールは、2つの事象が独立である — 一方の結果が他方の結果に影響しない — ことを前提とします。サイコロを振ることとコインを投げること、あるいは固定された故障率を持つ2台の別々の機械は、独立事象の典型例です。

どのように機能しますか？

それぞれ0%から100%の間の2つの入力を与えます：

• P(A) — 事象 $A$ が起こる確率。
• P(B) — 事象 $B$ が起こる確率。

事象が独立なので、同時確率は掛け算から直接得られます。パーセントで計算しているため、各積は100で割って結果を0〜100%の尺度に保ちます。計算機は次を報告します：

• P(A and B) — 両方の事象が起こる。
• P(A or B) — 2つの事象の少なくとも一方が起こる。
• P(neither A nor B) — どちらの事象も起こらない。
• P(A but not B) — $A$ が起こるが $B$ は起こらない。

公式

確率 $p_A$ と $p_B$（小数で表記）を持つ2つの独立事象について：

$$P(A \cap B) = p_A \cdot p_B$$ $$P(A \cup B) = p_A + p_B - p_A \cdot p_B$$ $$P(\text{neither}) = (1 - p_A)(1 - p_B)$$ $$P(A \cap \lnot B) = p_A \cdot (1 - p_B)$$

入力をパーセントで与えるときは、各積の項を100で割ります。例えば $P(A)$ と $P(B)$ をパーセントで表すと $P(A \cap B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B)}{100}$ となります。

計算例

1. 公平なコイン2枚、P(A) = P(B) = 50%。 両方とも表：$50 \times 50 / 100 = 25\%$。少なくとも一方が表：$50 + 50 - 25 = 75\%$。どちらも表でない：$50 \times 50 / 100 = 25\%$。1枚目が表で2枚目は表でない：$50 \times 50 / 100 = 25\%$。

2. P(A) = 20%、P(B) = 30%。 両方：$20 \times 30 / 100 = 6\%$。いずれか：$20 + 30 - 6 = 44\%$。どちらも起こらない：$80 \times 70 / 100 = 56\%$。AだがBでない：$20 \times 70 / 100 = 14\%$。

注意点

• 4つの結果は関連しています：$P(A \cup B)$ と $P(\text{neither})$ は常に足して100%になります。「少なくとも一方」と「どちらもなし」は互いに補い合う結果だからです。
• 独立性が鍵となる前提です。$A$ が起こったと分かることで $B$ の確率が変わる場合、事象は従属であり、代わりに条件付き確率が必要です — ベイズの定理計算機をご覧ください。
• 同じ事象を多数回の試行にわたって組み合わせる（例えば連続した数回のコイン投げ）には、二項分布を適用するコイン投げ確率計算機を使ってください。

よくある質問

確率は足して100%にならなければいけませんか？ いいえ。$P(A)$ と $P(B)$ は独立した入力で、それぞれ0%から100%まで何でもとり得ます。それらは1つの事象の2つの結果ではなく、2つの別々の事象を表します。

ここでいう「独立」とは何を意味しますか？ 2つの事象は、一方の発生が他方の確率を変えないとき独立です。独立の場合にのみ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ が成り立ちます。

互いに排反な事象はどう扱えばよいですか？ 2つの事象が同時には起こり得ないなら、それらは独立ではなく、$P(A \cap B) = 0$ です。この計算機は独立事象向けに設計されているため、互いに排反な事象には適したツールではありません。