t統計量とは？
t統計量は、標本の平均が仮定した母平均からどれだけ離れているかを、標本自身のばらつきで尺度化して測定します。これは一標本t検定の中心的な要素です。標本を集め、その平均を目標値と比較すると、t統計量はその差が標準誤差の単位でどれほど意外であるかを示します。t統計量が 0 に近いと標本平均が母平均に近いことを意味し、大きな正または負の値は標本がそこから遠いことを意味します。
t統計量はZスコアと密接に関連していますが、既知の母標準偏差ではなく標本標準偏差を使います。この置き換えこそがt分布が存在する理由です。小さな標本からばらつきを推定する際の追加的な不確実性を考慮するため、正規分布よりもやや裾が重くなっています。
計算ツールの仕組み
標本平均、比較対象の母平均、標本標準偏差、標本サイズを入力してください。計算ツールは一標本のt統計量を返します。
ここで、
x̄は標本平均です。μ₀は帰無仮説で述べられた母平均です。sは標本標準偏差で、0より大きい必要があります。nは標本サイズで、少なくとも1である必要があります。
分母 s / √n は平均の標準誤差であり、標本平均と真の平均との典型的な距離です。生の差を標準誤差で割ると、自由度 n − 1 のt分布と比較できる無次元の検定統計量に変換されます。
計算例
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目標値より上の標本。
n = 25の標本の平均がx̄ = 130、母平均がμ₀ = 120、標本標準偏差がs = 15の場合。 標本平均は仮定した平均より約3.33標準誤差上にあります。 -
小さな正のずれ。
x̄ = 10.5、μ₀ = 10、s = 2、n = 16の場合。 標本平均は目標値よりちょうど1標準誤差上にあります。 -
目標値より下の標本。
x̄ = 98、μ₀ = 100、s = 5、n = 25の場合。 負の符号は、標本平均が仮定した平均より2標準誤差下にあることを示します。
実用上の注意
- 標本標準偏差は正でなければなりません。0の値はデータにばらつきがないことを意味し、標準誤差、ひいてはt統計量が定義されなくなります。
- 有意性を判断するには、t統計量を自由度
n − 1のt分布の臨界値と比較するか、p値に変換します。 - 大きな標本ではt分布は正規分布に収束するため、t統計量とZスコアはほぼ同一になります。
- 単一の標本平均を固定の基準値と比較する場合は、この一標本の式を使ってください。二標本の検定では異なる分母を使います。
よくある質問
t統計量は負になりますか？
はい。負のt統計量は、標本平均が比較対象の母平均より下にあることを意味するだけです。符号は方向を示し、大きさは標準誤差の単位での距離を示します。
t統計量とZスコアの違いは何ですか？
どちらも基準値からの距離を測りますが、Zスコアは既知の母標準偏差で割るのに対し、t統計量は標本標準偏差から作られた標準誤差で割ります。母標準偏差が未知の場合はt統計量が正しい選択です。母標準偏差が既知の場合はZスコア計算ツールを参照してください。
自由度とは何ですか？
一標本t検定では、自由度は n − 1 に等しくなります。これは統計量を比較するt分布の形を表します。自由度が少ないほど裾が重くなり、より保守的な検定になります。
なぜ標本標準偏差は0より大きくなければならないのですか？
この式は標準誤差 s / √n で割ります。s が0だと割り算が定義されず、ばらつきのない標本は意味のある検定を支えられません。