현의 길이 계산기

현의 길이 계산기란 무엇입니까?

현은 양 끝점이 모두 원 위에 있는 직선 선분입니다. 원의 가장 긴 현은 그 지름이며, 그 외의 모든 현은 더 짧고 어떤 중심 각에 의해 “대응”됩니다 — 중심 각이란 현의 양 끝에 그어진 두 반지름에 의해 중심에서 형성되는 각도입니다.

이 계산기는 다른 두 값을 알고 있을 때 세 가지 값 — 현의 길이, 반지름, 또는 중심 각 — 중 하나를 구합니다. 각도는 도 또는 라디안으로 입력할 수 있으며, 반지름과 현은 일반적인 길이 단위로 입력할 수 있습니다.

주요 개념

• 반지름 (r) — 원의 중심에서 경계 위의 한 점까지의 거리.
• 중심 각 (θ) — 현의 양 끝에 그어진 두 반지름에 의해 원의 중심에서 형성되는 각도.
• 현 (c) — 호의 양 끝점 사이의 직선 거리로, 원의 곡선을 따르지 않고 원을 가로지릅니다.
• 지름 — 중심을 통과하는 현의 특수한 경우. 그 길이는 $2r$ 이며 중심 각 180°에 해당합니다.

현과 호의 길이는 동일한 한 쌍의 끝점을 두 가지 다른 관점에서 설명합니다: 현은 곧장 가로지르는 지름길이고, 호는 원을 따라가는 경로입니다.

계산기는 어떻게 작동합니까?

현, 그 양 끝으로 향하는 두 반지름, 그리고 중심에서 내린 수선은 두 개의 합동인 직각삼각형을 형성합니다. 현의 절반, 반지름, 그리고 중심 각의 절반은 다음을 만족합니다

$$\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \frac{c/2}{r}$$

이를 변형하여 계산기가 사용하는 공식이 됩니다.

공식

반지름과 중심 각으로 현 구하기:

$$c = 2 r \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$$

현과 중심 각으로 반지름 구하기:

$$r = \frac{c}{2 \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

현과 반지름으로 중심 각 구하기:

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{c}{2r}\right)$$

도 단위로는 $\theta$ 를 $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ 로 대체하거나, 단위 선택기를 전환한 후 계산기에서 각도를 직접 읽으십시오.

계산 예시

예시 1: 반지름과 각도로 현 구하기

원의 반지름이 10 cm이고 중심 각이 60°입니다. 그 각도가 만드는 현은

$$c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ cm}$$

이는 60° 각도의 현이 반지름과 같다는 익숙한 항등식입니다 — 형성된 삼각형은 정삼각형입니다.

예시 2: 180°에서 현이 지름과 같음

반지름이 5 m이고 중심 각이 180° (또는 $\pi$ 라디안)인 경우, 현은 원을 가로질러 끝까지 뻗습니다:

$$c = 2 \cdot 5 \cdot \sin(90°) = 10 \text{ m}$$

이것이 원의 지름입니다.

예시 3: 현과 각도로 반지름 구하기

길이 10 cm의 현이 60° 중심 각에 의해 잘려 있습니다. 원의 반지름은

$$r = \frac{10}{2 \sin(30°)} = \frac{10}{1} = 10 \text{ cm}$$

예시 4: 현과 반지름으로 각도 구하기

반지름이 10 cm인 원에 길이 10 cm의 현이 그어집니다. 중심 각은

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{10}{20}\right) = 2 \cdot 30° = 60°$$

예시 5: 사분원의 현

반지름 1의 원에서 90° 각도의 경우, 현은 $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$ 이며, 같은 각도의 호의 길이는 $\pi/2 \approx 1.5708$ 입니다. 호는 항상 현보다 약간 더 깁니다.

실용적 응용

• 엔지니어링 — 벨트와 풀리 배치에서, 두 바퀴의 접촉점 사이의 직선 거리는 각 바퀴의 현이 됩니다.
• 건축 및 목공 — 아치나 곡선 창문을 가로지르는 측정에서, 현은 경간을 알려주고 호의 길이는 곡선을 따라 필요한 재료를 알려줍니다.
• 측량 — 원형 기준점으로부터 지상 위치를 고정. 현 측정은 호보다 표시하기 쉽습니다.
• 천문학 — 멀리 있는 천체의 겉보기 지름 계산에서, 원형 단면을 가로지르는 현은 관측된 폭에 해당합니다.
• 기하학 및 삼각법 — 현/각도 관계는 사인 함수의 원래 정의 중 하나이며, 원 섹터 및 세그먼트 계산에서 여전히 나타납니다.

주의사항

• 현은 결코 지름보다 길 수 없습니다 ($c \le 2r$). 그보다 더 긴 현을 입력하면 각도가 정의되지 않으며 계산기는 결과를 반환하지 않습니다.
• 0° 각도는 현을 0으로 만듭니다 — 두 끝점이 일치합니다.
• 180° 각도는 지름이 되며, 180°보다 큰 각도는 한 바퀴 돌아 그 보각과 동일한 현을 줍니다 (예: 200°와 160°는 동일한 현을 산출합니다).
• 현과 각도로부터 반지름을 구할 때 각도는 0일 수 없습니다. 각도를 구할 때 반지름은 0일 수 없습니다.
• 반지름과 현은 단위를 공유합니다: 단위 선택기를 전환하면 결과가 자동으로 재변환됩니다.