정팔각형 계산기

팔각형 계산기란?

팔각형 계산기는 정팔각형을 한 번에 설명하는 도구입니다. 정팔각형은 변과 각이 모두 같은 여덟 변의 도형으로, 정지 표지판과 같은 윤곽을 가집니다. 한 가지 측정값을 입력하면 나머지 모든 양이 한꺼번에 반환됩니다. 변의 길이, 넓이, 둘레, 세 대각선, 외접원 반지름, 내접원 반지름입니다. 기하 숙제를 확인하는 학생, 팔각형 액자나 테이블 상판을 자르는 제작자, 그리고 정자·포장 패턴·표지판을 설계하는 사람에게 유용합니다.

정팔각형의 성질

정팔각형은 8개의 같은 변과 각각 135도인 8개의 내각을 가집니다. 8개의 꼭짓점이 모두 같은 거리에 있는 것은 아니므로, 팔각형은 육각형의 두 개가 아닌 세 개의 서로 다른 대각선을 가집니다.

• 가장 긴 대각선 은 마주 보는 두 꼭짓점을 잇고 중심을 지나갑니다. 이것은 도형의 전체 너비입니다.
• 중간 대각선 은 사이에 두 꼭짓점이 있는 두 꼭짓점을 잇습니다.
• 가장 짧은 대각선 은 한 꼭짓점을 건너뛰는 두 꼭짓점을 잇습니다.

외접원 반지름은 중심에서 임의의 모서리까지의 거리이며, 내접원 반지름(아포템이라고도 함)은 중심에서 임의의 변의 중점까지의 거리입니다.

계산기는 어떻게 작동하나요?

아무 칸에나 값을 입력하면 계산기는 먼저 그로부터 변의 길이를 복원한 다음 나머지 모든 성질을 채웁니다. 따라서 변, 넓이, 둘레, 세 대각선 중 하나, 외접원 반지름 또는 내접원 반지름에서 시작할 수 있으며, 항상 팔각형의 완전한 설명을 얻습니다. 각 길이 칸은 서로 다른 단위를 받아들이며, 단위 간 변환은 자동으로 이루어집니다.

공식

변의 길이가 $a$ 일 때, 정팔각형의 넓이는 다음과 같습니다.

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right) a^2$$

둘레는 변의 8배입니다.

$$P = 8a$$

세 대각선 — 가장 긴 것 $D$, 중간 것 $M$, 가장 짧은 것 $d$ — 은 다음과 같습니다.

$$D = a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad M = a\left(1 + \sqrt{2}\right) \qquad d = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$$

외접원 반지름 $R$ 은 가장 긴 대각선의 절반이고, 내접원 반지름 $r$ (아포템)은 중간 대각선의 절반입니다.

$$R = \frac{a}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad r = \frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$$

여기서 $A$ 는 넓이, $P$ 는 둘레, $D$, $M$, $d$ 는 가장 긴·중간·가장 짧은 대각선, $R$ 은 외접원 반지름, $r$ 은 내접원 반지름, $a$ 는 변의 길이입니다.

예시

1. 변이 5 cm 인 정팔각형:

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 5^2 \approx 120.71 \text{ 제곱센티미터}$$ $$P = 8 \times 5 = 40 \text{ 센티미터}$$ $$D = 5\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \approx 13.07 \text{ 센티미터} \qquad M = 5\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 12.07 \text{ 센티미터}$$ $$d = 5\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 9.24 \text{ 센티미터}$$ $$R \approx 6.53 \text{ 센티미터} \qquad r \approx 6.04 \text{ 센티미터}$$

2. 둘레 40 cm 에서 거꾸로 계산하면 변은 $40 / 8 = 5$ cm 이며, 이는 위의 모든 값을 재현합니다.

실용적인 참고 사항

• 가장 긴 대각선은 평평한 변의 팔각형을 가로지르는 전체 폭이므로, 도형을 포함하는 가장 작은 원의 지름입니다. 외접원 반지름은 정확히 그 절반입니다.
• 내접원 반지름은 아포템 — 팔각형 안에 들어가는 가장 큰 원의 반지름 — 으로, 둥근 물체 주위에 팔각형을 맞출 때 유용합니다.
• 변의 수가 다른 도형에 대해서는 정다각형 넓이 계산기 가 넓이 공식을 일반화하고, 육각형 계산기 가 여섯 변의 경우를 다룹니다.

자주 묻는 질문

정팔각형의 넓이는 어떻게 구하나요?

변의 길이를 제곱하고 $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4.8284$ 를 곱합니다. 변이 5인 경우 넓이는 $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120.71$ 입니다.

세 대각선의 차이는 무엇인가요?

가장 긴 대각선은 마주 보는 꼭짓점을 잇고 중심을 지나며 $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ 와 같습니다. 중간 대각선은 두 꼭짓점을 건너뛰며 $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$ 와 같습니다. 가장 짧은 대각선은 한 꼭짓점을 건너뛰며 $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 와 같습니다.

팔각형의 아포템은 무엇인가요?

아포템은 내접원 반지름 — 중심에서 변의 중점까지의 거리입니다. 정팔각형에서는 $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$ 와 같으며, 변의 약 1.207배입니다.

정팔각형의 너비는 얼마인가요?

마주 보는 변 사이의 너비는 내접원 반지름의 2배인 $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$ 이며, 이는 중간 대각선이기도 합니다. 마주 보는 모서리 사이의 너비는 가장 긴 대각선 $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ 입니다.