꼭짓점 형태 계산기

꼭짓점 형태 계산기란 무엇인가?

꼭짓점 형태 계산기는 표준형으로 쓰인 이차 방정식을 받아 꼭짓점 형태로 다시 씁니다. 표준형 $y = ax^2 + bx + c$ 은 y절편을 읽어내기에 편리하고, 꼭짓점 형태 $y = a(x - h)^2 + k$ 은 포물선의 전환점을 즉시 드러냅니다. 점 $(h, k)$ 가 꼭짓점입니다: 포물선이 위로 열릴 때($a > 0$) 가장 낮은 점이고 아래로 열릴 때($a < 0$) 가장 높은 점입니다.

이 도구는 당신을 위해 $h$ 와 $k$ 를 계산하므로, 손으로 완전제곱식을 만들지 않고도 포물선을 그리거나, 대칭축을 찾거나, 최솟값이나 최댓값을 읽어낼 수 있습니다.

공식

표준형의 이차식이 주어지면, 꼭짓점 좌표는 다음과 같습니다:

$h = -\frac{b}{2a} \qquad k = c - \frac{b^2}{4a}$

선행 계수 $a$ 는 변하지 않으므로, 꼭짓점 형태는 다음과 같습니다:

$y = a(x - h)^2 + k$

대칭축은 수직선 $x = h$ 입니다.

사용 방법

1. 계수 $a$ 를 입력합니다(0이 아니어야 하며, 그렇지 않으면 방정식이 이차식이 아닙니다).
2. 계수 $b$ 와 $c$ 를 입력합니다.
3. 계산된 꼭짓점 값 $h$ 와 $k$ 를 읽습니다. 그러면 꼭짓점 형태는 $y = a(x - h)^2 + k$ 입니다.

세 계수가 모두 입력되고 $a \neq 0$ 일 때까지 결과는 비어 있습니다.

풀이 예제

$y = 2x^2 - 12x + 10$ 을 꼭짓점 형태로 변환합니다. 여기서 $a = 2$, $b = -12$, $c = 10$ 입니다.

$h$ 계산:

$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$k$ 계산:

$k = c - \frac{b^2}{4a} = 10 - \frac{(-12)^2}{4 \cdot 2} = 10 - \frac{144}{8} = 10 - 18 = -8$

따라서 꼭짓점은 $(3, -8)$ 이고 꼭짓점 형태는 다음과 같습니다:

$y = 2(x - 3)^2 - 8$

자주 묻는 질문

왜 계수 a가 0이 아니어야 하나요?

$a = 0$ 이면, $x^2$ 항이 사라지고 방정식이 선형 $y = bx + c$ 가 되며, 이는 꼭짓점이 없습니다. 두 꼭짓점 공식 모두 $a$ 로 나누므로, $a = 0$ 은 그것들을 정의되지 않게 만듭니다. 대신 직선을 분석하려면, 기울기 계산기를 참조하세요.

꼭짓점은 변화율과 어떻게 관련되나요?

꼭짓점에서 포물선의 순간 기울기는 0이며, 이것이 그곳이 전환점인 이유입니다. 단일 점이 아닌 구간에 걸쳐 함수의 출력이 어떻게 변하는지 측정하려면, 평균 변화율 계산기를 사용하세요.