임계값 계산기

임계값이란 무엇인가요?

임계값은 귀무가설을 기각하게 만드는 검정통계량 값과 그렇지 않은 값을 나누는 분기점입니다. 유의 수준과 검정 방향을 선택하면 임계값은 기각역의 경계를 표시합니다. 계산한 통계량이 그 경계를 넘어서면 결과는 선택한 수준에서 통계적으로 유의합니다.

이 계산기는 가설 검정에서 가장 자주 만나는 네 가지 분포에 대한 임계값을 반환합니다. 표준 정규(Z), 스튜던트 t, 카이제곱, F 분포입니다. 분포, 검정 유형(양측, 우측, 좌측), 유의 수준, 그리고 분포가 요구하는 경우 자유도를 선택하세요.

계산기는 어떻게 작동하나요?

모든 임계값은 해당 분포의 누적분포함수의 분위수입니다. $F$ 가 선택한 분포의 누적분포함수일 때, 분위수(역) 함수 $F^{-1}$ 는 확률을 그 확률에 위치한 값으로 되돌립니다. 계산기는 유의 수준 $\alpha$ 와 검정 방향이 정하는 확률에서 $F^{-1}$ 를 계산합니다.

Z 나 t 처럼 대칭인 분포에서는 세 가지 검정 유형이 다음 확률에 대응합니다.

$$\text{right-tailed: } F^{-1}(1 - \alpha) \qquad \text{left-tailed: } F^{-1}(\alpha) \qquad \text{two-tailed: } \pm F^{-1}\left(1 - \tfrac{\alpha}{2}\right)$$

카이제곱과 F 분포는 대칭이 아니므로, 양측 검정은 하한과 상한이라는 서로 다른 두 경계를 만듭니다.

$$\text{lower: } F^{-1}\left(\tfrac{\alpha}{2}\right) \qquad \text{upper: } F^{-1}\left(1 - \tfrac{\alpha}{2}\right)$$

분위수 계산

표준 정규 분위수 $\Phi^{-1}$ 는 닫힌 형태가 없으므로, 계산기는 유리 근사(Acklam 방법)를 사용하고 Halley 단계로 정밀화하여 역정규를 완전한 배정밀도로 구합니다. t, 카이제곱, F 분위수는 정규화된 불완전 베타 함수와 감마 함수로 구성된 누적분포함수를 수치적으로 역으로 풀어 구합니다.

풀이 예제

1. Z, 양측, $\alpha = 0.05$. 유의 수준을 양쪽 꼬리에 나누고 정규 분위수를 $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$ 에서 계산합니다. $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ 기각역은 $-1.96$ 미만이거나 $1.96$ 초과인 모든 값입니다.

2. Z, 우측, $\alpha = 0.05$. 위쪽 한 꼬리만: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, 우측, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. 자유도 15로 t 분위수를 $0.95$ 에서 계산합니다. $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ 기각역은 $(1.7531, \infty)$ 입니다.

4. t, 양측, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. $0.975$ 에서 계산합니다. $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. 카이제곱, 양측, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. 하한과 상한은 $0.025$ 와 $0.975$ 에서 나옵니다. $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, 우측, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. 분자 자유도 5, 분모 자유도 10으로: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

실용적인 참고 사항

• 유의 수준 $\alpha$ 는 반드시 $0$ 과 $1$ 사이에 엄격히 있어야 합니다. 흔한 선택은 $0.10$, $0.05$, $0.01$ 입니다.
• 모표준편차를 알거나 표본이 클 때는 Z 분포를 사용하고, 표준편차를 추정한 작은 표본에는 t 분포로 전환하세요.
• 카이제곱 분포는 분산 검정과 적합도 검정에, F 분포는 두 분산의 비교나 분산분석에 사용됩니다.
• 자유도는 t, 카이제곱, F 분포의 형태를 결정합니다. t 의 자유도가 커질수록 그 임계값은 대응하는 Z 값에 가까워집니다.

자주 묻는 질문

단측 임계값과 양측 임계값의 차이는 무엇인가요?

단측 검정은 기각역 전체를 한쪽 꼬리에 두므로 $F^{-1}(1 - \alpha)$ (우측) 또는 $F^{-1}(\alpha)$ (좌측) 를 사용합니다. 양측 검정은 $\alpha$ 를 양쪽 꼬리에 나누어 각 임계값을 중심에서 더 멀리 밀어냅니다.

카이제곱 임계값에는 왜 자유도가 필요한가요?

카이제곱 분포는 자유도에 따라 형태가 바뀌므로 같은 유의 수준이라도 자유도가 다르면 다른 분기점에 대응합니다. t 와 F 분포에서도 마찬가지입니다.

임계값은 p값과 어떻게 연관되나요?

둘은 같은 결정의 양면입니다. 검정통계량이 임계값을 넘으면 귀무가설을 기각하는데, 이는 정확히 p값이 $\alpha$ 보다 작을 때입니다.

임계값이 음수가 될 수 있나요?

네. 좌측 Z 또는 t 임계값은 아래쪽 꼬리에 있으므로 음수입니다. 카이제곱과 F 값은 항상 음이 아닙니다. 이 분포들은 음이 아닌 수에 대해서만 정의되기 때문입니다.