Kalkulator iloczynu wektorowego

Czym jest kalkulator iloczynu wektorowego?

Kalkulator iloczynu wektorowego znajduje wektor powstały w wyniku pomnożenia dwóch wektorów trójwymiarowych za pomocą iloczynu wektorowego. W odróżnieniu od iloczynu skalarnego, który zwraca pojedynczą liczbę, iloczyn wektorowy zwraca nowy wektor. Wektor ten jest prostopadły do obu pierwotnych wektorów, a jego długość równa się polu równoległoboku, który rozpinają.

Dla dwóch wektorów $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ i $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$ to narzędzie zwraca trzy składowe wektora $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Wzór

Iloczyn wektorowy definiuje się składowa po składowej jako:

Zatem trzy składowe wyjściowe to:

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

Jak korzystać

1. Wprowadź trzy składowe wektora $\mathbf{a}$: $a_x$, $a_y$ oraz $a_z$.
2. Wprowadź trzy składowe wektora $\mathbf{b}$: $b_x$, $b_y$ oraz $b_z$.
3. Po wypełnieniu wszystkich sześciu wartości kalkulator wyświetla $c_x$, $c_y$ oraz $c_z$ — składowe wynikowego wektora $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Wartości ujemne są w pełni obsługiwane. Kolejność ma znaczenie: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$, więc zamiana obu wektorów odwraca znak każdej składowej.

Przykład obliczeniowy

Weźmy $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ i $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

Zatem $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$.

FAQ

Dlaczego iloczyn wektorowy jest wektorem, a iloczyn skalarny liczbą?

Iloczyn skalarny mierzy, jak bardzo dwa wektory wskazują ten sam kierunek, co jest pojedynczą wielkością skalarną. Iloczyn wektorowy natomiast mierzy zorientowane pole, które rozpinają, i wskazuje kierunek prostopadły do obu, więc w naturalny sposób potrzebuje trzech składowych, aby opisać zarówno tę wielkość, jak i ten kierunek.

Co oznacza, że iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym?

Jeśli $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$, to oba wektory są równoległe (lub jeden z nich jest wektorem zerowym). Wektory równoległe nie rozpinają żadnego pola, więc prostopadły wynik zapada się do niczego.