Kalkulator przekątnej prostokąta

Czym jest przekątna prostokąta?

Przekątna prostokąta to linia prosta łącząca dwa przeciwległe narożniki. Każdy prostokąt ma dwie przekątne i zawsze są one równej długości. Ponieważ dwa boki prostokąta spotykają się pod kątem prostym, przekątna tworzy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego dwa pozostałe boki to długość i szerokość prostokąta.

Ten kalkulator działa w trzech kierunkach. Jeśli znasz długość i szerokość, zwraca przekątną. Jeśli znasz przekątną i jeden z boków, wyznacza brakujący bok. Podaje również pole i obwód, dzięki czemu masz pełny opis prostokąta w jednym miejscu.

Kluczowe pojęcia

• Długość (l) — jedna para równoległych boków prostokąta.
• Szerokość (w) — druga para równoległych boków, prostopadła do długości.
• Przekątna (d) — odcinek łączący dwa przeciwległe narożniki; przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego utworzonego przez długość i szerokość.
• Pole (A) — powierzchnia zamknięta przez prostokąt, równa długości razy szerokość.
• Obwód (P) — całkowita odległość wokół prostokąta.

Jak działa kalkulator?

Przekątna wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego utworzonego przez dwa boki. Kalkulator wewnętrznie przelicza każdą długość na metry, stosuje wzór w kierunku potrzebnym użytkownikowi, a następnie przelicza wynik z powrotem na wybraną jednostkę.

Wzory

Przekątna z dwóch boków:

$$d = \sqrt{l^2 + w^2}$$

Przekształcony do wyznaczenia długości:

$$l = \sqrt{d^2 - w^2}$$

Przekształcony do wyznaczenia szerokości:

$$w = \sqrt{d^2 - l^2}$$

Pole i obwód:

$$A = l \cdot w, \qquad P = 2(l + w)$$

Przykłady rozwiązane

Przykład 1: przekątna z długości i szerokości

Prostokąt ma długość 3 cm i szerokość 4 cm. Przekątna wynosi:

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

To klasyczny trójkąt prostokątny 3-4-5. Pole wynosi $A = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}^2$, a obwód $P = 2(3 + 4) = 14 \text{ cm}$.

Przykład 2: większy prostokąt 6-8-10

Dla prostokąta 6 cm na 8 cm:

$$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$

Przykład 3: długość z przekątnej i szerokości

Prostokąt ma przekątną 5 cm i szerokość 4 cm. Długość wynosi:

$$l = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$$

Przykład 4: szerokość z przekątnej i długości

Prostokąt ma przekątną 10 cm i długość 6 cm. Szerokość wynosi:

$$w = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

Zastosowania praktyczne

• Budownictwo i stolarstwo — sprawdzanie, czy rama, ściana lub podłoga jest pod kątem prostym, przez porównanie dwóch przekątnych, które muszą być równe.
• Ekrany i monitory — telewizory i monitory są wymiarowane według przekątnej, obliczanej z szerokości i wysokości panelu.
• Meble i przeprowadzki — potwierdzenie, że blat stołu lub materac przejdzie przez drzwi albo zmieści się za rogiem.
• Projektowanie i układ — znalezienie najdłuższego prostego przebiegu przez prostokątny arkusz materiału przed cięciem.
• Ćwiczenie z geometrii — obliczenie to bezpośrednie zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, ściśle związane z przekątną kwadratu.

Uwagi

• Długość i szerokość muszą być obie zerowe lub dodatnie, aby wynik miał sens.
• Przy wyznaczaniu boku z przekątnej przekątna musi być co najmniej tak długa jak znany bok; w przeciwnym razie żaden rzeczywisty prostokąt nie istnieje i wynik pozostaje pusty.
• Prostokąt, którego długość jest równa szerokości, jest kwadratem, a jego przekątną można również znaleźć za pomocą kalkulatora przekątnej kwadratu.
• Zmiana selektora jednostek automatycznie przelicza wynik, więc w razie potrzeby długość i przekątną można podać w różnych jednostkach. Dla kształtów krzywoliniowych zobacz kalkulator pola koła.