Kalkulator NWD (Największy Wspólny Dzielnik)

Czym jest największy wspólny dzielnik?

Największy wspólny dzielnik (NWD), zwany też najwyższym wspólnym czynnikiem, to największa dodatnia liczba całkowita, która dzieli każdą liczbę z danego zbioru bez reszty. Na przykład NWD liczb 12 i 18 wynosi 6, ponieważ 6 jest największą liczbą, która dzieli zarówno 12, jak i 18 bez reszty.

Ten kalkulator znajduje NWD dwóch lub więcej dodatnich liczb całkowitych. Dodatkowo podaje też najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW): najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą będącą wielokrotnością każdej liczby ze zbioru.

Jak działa kalkulator?

Wprowadź swoje liczby w powtarzalnych wierszach — dodaj ich tyle, ile potrzebujesz. Kalkulator pomija puste wiersze i wymaga co najmniej dwóch liczb, aby podać wynik. Następnie stosuje algorytm Euklidesa do całej listy, aby uzyskać NWD, i wykorzystuje ten wynik do obliczenia NWW.

Algorytm Euklidesa znajduje NWD dwóch liczb, wielokrotnie zastępując większą liczbę resztą z dzielenia większej przez mniejszą, aż reszta osiągnie zero. Ostatnia niezerowa wartość to NWD. Aby obsłużyć całą listę, NWD oblicza się parami: nwd(a, b, c) = nwd(nwd(a, b), c), i tak dalej.

Wzory

NWD listy liczb oblicza się przez zwijanie NWD parami:

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

NWW dwóch liczb wynika bezpośrednio z ich NWD:

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

Rozwiązane przykłady

1. Dwie liczby: $\gcd(12, 18) = 6$ oraz $\text{lcm}(12, 18) = 36$. Dzielniki liczby 12 to 1, 2, 3, 4, 6, 12, a liczby 18 to 1, 2, 3, 6, 9, 18; największym wspólnym dzielnikiem jest 6.

2. Trzy liczby: $\gcd(8, 12, 16) = 4$. Każda z liczb 8, 12 i 16 jest podzielna przez 4, a żadna większa liczba nie dzieli wszystkich trzech.

3. Liczby względnie pierwsze: $\gcd(7, 13) = 1$. Zarówno 7, jak i 13 są liczbami pierwszymi, więc nie mają wspólnego dzielnika innego niż 1 — są względnie pierwsze.

4. Większy zbiór: $\gcd(100, 75, 50) = 25$. Liczba 25 dzieli wszystkie trzy, podczas gdy 50 nie dzieli 75.

Uwagi praktyczne

• Upraszczanie ułamków: Podzielenie licznika i mianownika przez ich NWD sprowadza ułamek do postaci nieskracalnej. Zobacz kalkulator upraszczania ułamków.
• Dodawanie ułamków: NWW mianowników daje najmniejszy wspólny mianownik, co ułatwia dodawanie ułamków — przydatne wraz z kalkulatorem dodawania.
• Tylko dodatnie liczby całkowite: NWD jest zdefiniowany dla liczb całkowitych. Liczby dziesiętne i znaki ujemne nie mają tu sensu, więc dane niecałkowite nie są oczekiwane.
• nwd(a, 0) = a: Zgodnie z konwencją największy wspólny dzielnik dowolnej liczby i zera to sama ta liczba, co utrzymuje obliczenia dobrze określone, gdy pojawiają się zera.