Kalkulator twierdzenia cosinusów

Czym jest kalkulator twierdzenia cosinusów?

Kalkulator twierdzenia cosinusów rozwiązuje trójkąt, gdy znasz dwa jego boki i kąt między nimi (przypadek „bok-kąt-bok”). Podajesz bok $a$, bok $b$ i kąt zawarty $C$, a kalkulator zwraca długość trzeciego boku $c$ wraz z dwoma pozostałymi kątami $A$ i $B$.

Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Gdy kąt zawarty wynosi dokładnie $90°$, składnik z cosinusem znika, a wzór sprowadza się z powrotem do $c^2 = a^2 + b^2$, znanej zależności dla trójkąta prostokątnego.

Jak to działa?

Trzeci bok wynika bezpośrednio z twierdzenia cosinusów:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego daje $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Gdy znane są już wszystkie trzy boki, kąt leżący naprzeciw boku $a$ odzyskuje się, przekształcając to samo twierdzenie:

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Ponieważ trzy kąty wewnętrzne dowolnego trójkąta sumują się do $180°$, ostatni kąt wynika natychmiast:

$B = 180° - A - C$

Aby trójkąt istniał, kąt zawarty $C$ musi leżeć ściśle między $0°$ a $180°$, a oba podane boki muszą być dodatnie.

Rozwiązane przykłady

Trójkąt prostokątny. Przy $a = 3$, $b = 4$ i $C = 90°$ składnik z cosinusem zanika, więc $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Pozostałe kąty to $A \approx 36.8699°$ i $B \approx 53.1301°$, co odtwarza klasyczny trójkąt 3-4-5.

Trójkąt ukośny. Przy $a = 5$, $b = 7$ i $C = 60°$ otrzymujemy $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$.

Uwagi praktyczne

Twierdzenie cosinusów jest najbardziej przydatne, gdy twierdzenie sinusów nie może rozpocząć rozwiązania, a konkretnie w przypadkach bok-kąt-bok oraz bok-bok-bok, w których nie są jednocześnie znane bok i leżący naprzeciw niego kąt. Geodeci, nawigatorzy i inżynierowie polegają na nim przy obliczaniu odległości w poprzek linii bazowej, gdy można zmierzyć tylko dwa ramiona i kąt między nimi.

Jeśli natomiast znasz dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt niezawarty, twierdzenie sinusów jest bardziej bezpośrednim narzędziem. W szczególnym przypadku trójkąta prostokątnego możesz także skorzystać z kalkulatora przeciwprostokątnej, a aby obliczyć sam cosinus kąta zawartego, zobacz kalkulator trygonometrii.