Kalkulator twierdzenia sinusów

Czym jest kalkulator twierdzenia sinusów?

Kalkulator twierdzenia sinusów rozwiązuje trójkąt, gdy znasz jeden kąt, bok leżący bezpośrednio naprzeciw niego oraz drugi kąt. Z tych trzech wartości wyznacza trzeci kąt i dwa brakujące boki. Twierdzenie sinusów to zależność, która wiąże kąty dowolnego trójkąta z długościami leżących naprzeciw nich boków, dzięki czemu działa zarówno dla trójkątów ostrokątnych, prostokątnych, jak i rozwartokątnych, a nie tylko dla trójkątów prostokątnych.

W tym kalkulatorze podajesz kąt $A$ w stopniach, bok $a$ (bok naprzeciw kąta $A$) oraz kąt $B$ w stopniach. Zwraca on kąt $C$, bok $b$ i bok $c$.

Jak to działa?

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek każdego boku do sinusa jego kąta naprzeciwległego jest taki sam dla wszystkich trzech boków trójkąta:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Ponieważ kąty wewnętrzne dowolnego trójkąta sumują się do $180^\circ$, trzeci kąt wynika natychmiast:

$C = 180^\circ - A - B$

Gdy każdy kąt jest znany, a jeden bok naprzeciwległy ($a$) jest dany, pozostałe boki wynikają wprost z powyższych stosunków:

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

Aby te wzory opisywały rzeczywisty trójkąt, zarówno $A$, jak i $B$ muszą być dodatnie, a ich suma musi być mniejsza niż $180^\circ$. Jeśli $A + B \ge 180^\circ$, nie ma poprawnego trójkąta, a kalkulator pozostawia wyniki puste.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1: trójkąt 30-60-90

Załóżmy $A = 30^\circ$, $a = 10$ i $B = 60^\circ$. Najpierw znajdź brakujący kąt:

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Teraz zastosuj stosunki. Ponieważ $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 60^\circ \approx 0.8660$ i $\sin 90^\circ = 1$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

Zatem $C = 90^\circ$, $b \approx 17.3205$ i $c = 20$.

Przykład 2: równoramienny trójkąt prostokątny

Przy $A = 45^\circ$, $a = 10$ i $B = 45^\circ$:

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Ponieważ $\sin 45^\circ = \sin B$, bok $b$ jest równy bokowi $a$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

Trójkąt ma dwa równe boki o długości $10$ i przeciwprostokątną wynoszącą około $14.1421$.

Uwagi praktyczne

• Wprowadź oba kąty w stopniach. Kalkulator przelicza je wewnętrznie przed obliczeniem sinusa.
• Znany bok $a$ musi być tym leżącym naprzeciw znanego kąta $A$; w przeciwnym razie stosunki nie będą się zgadzać.
• To narzędzie używa konfiguracji kąt-kąt-bok (AAS), która zawsze daje pojedynczy trójkąt. Trudniejszy „przypadek niejednoznaczny” bok-bok-kąt (SSA) — w którym mogą pasować dwa różne trójkąty — nie jest tutaj obsługiwany.
• Gdy zamiast tego znasz dwa boki i kąt między nimi, sięgnij po kalkulator twierdzenia cosinusów, a dla zwykłego sinusa, cosinusa i tangensa pojedynczego kąta zobacz kalkulator trygonometrii.

Najczęściej zadawane pytania

Kiedy powinienem użyć twierdzenia sinusów zamiast twierdzenia cosinusów?

Użyj twierdzenia sinusów, gdy znasz kąt wraz z bokiem leżącym naprzeciw niego, plus jeszcze jeden kąt lub bok (przypadki AAS lub ASA). Użyj twierdzenia cosinusów, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki.

Czy twierdzenie sinusów działa dla trójkątów nieprostokątnych?

Tak. Stosuje się do każdego trójkąta — ostrokątnego, prostokątnego i rozwartokątnego. To jedno z głównych narzędzi do rozwiązywania trójkątów, które nie są prostokątne.

Dlaczego moje wyniki są puste?

Wyniki pozostają puste, jeśli brakuje pola, jeśli kąt jest zerowy lub ujemny albo jeśli kąt $A$ plus kąt $B$ wynosi $180^\circ$ lub więcej, ponieważ żaden trójkąt nie może mieć takich kątów.