Kalkulator ośmiokąta

Czym jest kalkulator ośmiokąta?

Kalkulator ośmiokąta to jedno narzędzie opisujące ośmiokąt foremny — ośmioboczną figurę o równych bokach i równych kątach, o tym samym zarysie co znak stop. Wprowadź jedną miarę, a zwróci wszystkie pozostałe wielkości naraz: długość boku, pole, obwód, trzy przekątne, promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego. Jest przydatny dla uczniów sprawdzających zadania z geometrii, dla twórców wycinających ośmiokątną ramę lub blat stołu oraz dla każdego, kto projektuje altanę, wzór bruku lub znak.

Właściwości ośmiokąta foremnego

Ośmiokąt foremny ma osiem równych boków i osiem kątów wewnętrznych po 135 stopni każdy. Ponieważ osiem wierzchołków nie znajduje się w jednakowej odległości od siebie, ośmiokąt ma trzy różne przekątne zamiast dwóch jak w sześciokącie:

• Najdłuższa przekątna łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez środek; jest to pełna szerokość figury.
• Średnia przekątna łączy dwa wierzchołki z dwoma wierzchołkami pomiędzy nimi.
• Najkrótsza przekątna łączy dwa wierzchołki, pomijając jeden wierzchołek.

Promień okręgu opisanego to odległość od środka do dowolnego narożnika, a promień okręgu wpisanego (zwany także apotemą) to odległość od środka do środka dowolnego boku.

Jak działa kalkulator?

Wpisz wartość w dowolne pole, a kalkulator najpierw odtworzy z niej długość boku, a następnie uzupełni każdą pozostałą właściwość. Możesz więc zacząć od boku, pola, obwodu, dowolnej z trzech przekątnych, promienia okręgu opisanego lub promienia okręgu wpisanego, a zawsze otrzymasz pełny opis ośmiokąta. Każde pole długości przyjmuje różne jednostki, a przeliczenia między nimi odbywają się automatycznie.

Wzory

Przy długości boku $a$ pole ośmiokąta foremnego wynosi:

Obwód to osiem długości boku:

Trzy przekątne — najdłuższa $D$, średnia $M$ i najkrótsza $d$ — wynoszą:

Promień okręgu opisanego $R$ to połowa najdłuższej przekątnej, a promień okręgu wpisanego $r$ (apotema) to połowa średniej przekątnej:

gdzie $A$ to pole, $P$ obwód, $D$, $M$ i $d$ najdłuższa, średnia i najkrótsza przekątna, $R$ promień okręgu opisanego, $r$ promień okręgu wpisanego, a $a$ długość boku.

Przykłady

1. Ośmiokąt foremny o boku 5 cm:

2. Licząc wstecz od obwodu 40 cm, bok wynosi $40 / 8 = 5$ cm, co odtwarza wszystkie powyższe wartości.

Uwagi praktyczne

• Najdłuższa przekątna to pełna rozpiętość w poprzek ośmiokąta o płaskich bokach, więc jest to średnica najmniejszego okręgu zawierającego figurę; promień okręgu opisanego to dokładnie jej połowa.
• Promień okręgu wpisanego to apotema — promień największego okręgu mieszczącego się wewnątrz ośmiokąta — i jest przydatny przy dopasowywaniu ośmiokąta wokół okrągłego obiektu.
• Dla figur o innej liczbie boków kalkulator pola wielokąta foremnego uogólnia wzór na pole, a kalkulator sześciokąta obsługuje przypadek sześcioboczny.

Często zadawane pytania

Jak znaleźć pole ośmiokąta foremnego?

Podnieś długość boku do kwadratu i pomnóż przez $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$. Dla boku 5 pole wynosi $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$.

Jaka jest różnica między trzema przekątnymi?

Najdłuższa przekątna łączy przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez środek, równa $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$. Średnia przekątna pomija dwa wierzchołki i wynosi $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$. Najkrótsza przekątna pomija jeden wierzchołek i wynosi $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Czym jest apotema ośmiokąta?

Apotema to promień okręgu wpisanego — odległość od środka do środka boku. Dla ośmiokąta foremnego wynosi $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$, około 1,207 długości boku.

Jak szeroki jest ośmiokąt foremny?

Szerokość między przeciwległymi bokami to podwojony promień okręgu wpisanego, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, co jest również średnią przekątną. Szerokość między przeciwległymi narożnikami to najdłuższa przekątna, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.