Kalkulator postaci kanonicznej

Czym jest kalkulator postaci kanonicznej?

Kalkulator postaci kanonicznej bierze równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej i przepisuje je w postaci kanonicznej. Postać ogólna, $y = ax^2 + bx + c$, jest wygodna do odczytania punktu przecięcia z osią y, podczas gdy postać kanoniczna, $y = a(x - h)^2 + k$, natychmiast ujawnia punkt zwrotny paraboli. Punkt $(h, k)$ to wierzchołek: najniższy punkt, gdy parabola otwiera się do góry ($a > 0$), i najwyższy punkt, gdy otwiera się do dołu ($a < 0$).

To narzędzie oblicza za ciebie $h$ i $k$, więc możesz narysować parabolę, znaleźć jej oś symetrii lub odczytać jej minimum lub maksimum bez ręcznego uzupełniania do kwadratu.

Formuła

Mając funkcję kwadratową w postaci ogólnej, współrzędne wierzchołka wynoszą:

$h = -\frac{b}{2a} \qquad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Współczynnik wiodący $a$ pozostaje niezmieniony, więc postać kanoniczna to:

$y = a(x - h)^2 + k$

Oś symetrii to pionowa prosta $x = h$.

Jak używać

1. Wpisz współczynnik $a$ (nie może być zerem, w przeciwnym razie równanie nie jest kwadratowe).
2. Wpisz współczynniki $b$ i $c$.
3. Odczytaj obliczone wartości wierzchołka $h$ i $k$. Postać kanoniczna to wtedy $y = a(x - h)^2 + k$.

Wyniki pozostają puste, dopóki wszystkie trzy współczynniki nie zostaną wypełnione, a $a \neq 0$.

Przykład obliczeń

Zamień $y = 2x^2 - 12x + 10$ na postać kanoniczną. Tutaj $a = 2$, $b = -12$ i $c = 10$.

Oblicz $h$:

$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Oblicz $k$:

$k = c - \frac{b^2}{4a} = 10 - \frac{(-12)^2}{4 \cdot 2} = 10 - \frac{144}{8} = 10 - 18 = -8$

Zatem wierzchołek to $(3, -8)$, a postać kanoniczna to:

$y = 2(x - 3)^2 - 8$

Najczęstsze pytania

Dlaczego współczynnik a nie może być zerem?

Jeśli $a = 0$, wyraz $x^2$ znika, a równanie staje się liniowe, $y = bx + c$, które nie ma wierzchołka. Oba wzory na wierzchołek dzielą także przez $a$, więc $a = 0$ uczyniłoby je nieokreślonymi. Aby przeanalizować zamiast tego prostą, zobacz kalkulator nachylenia.

Jak wierzchołek wiąże się z tempem zmian?

W wierzchołku chwilowe nachylenie paraboli wynosi zero, dlatego jest to punkt zwrotny. Aby zmierzyć, jak wartość wyjściowa funkcji zmienia się na przedziale, a nie w pojedynczym punkcie, użyj kalkulatora średniego tempa zmian.