Kalkulator średniego odchylenia bezwzględnego

Czym jest kalkulator średniego odchylenia bezwzględnego?

Kalkulator średniego odchylenia bezwzględnego mierzy, jak bardzo zbiór liczb jest rozproszony, uśredniając, jak daleko każda wartość leży od średniej. Wprowadź swoje dane, a kalkulator natychmiast poda średnie odchylenie bezwzględne (MAD) wraz ze średnią i liczebnością wartości. Małe MAD oznacza, że liczby skupiają się ciasno wokół średniej; duże MAD oznacza, że są szeroko rozrzucone.

W przeciwieństwie do odchylenia standardowego, które podnosi każde odchylenie do kwadratu, średnie odchylenie bezwzględne używa zwykłej odległości bezwzględnej. Dzięki temu wynik pozostaje w tych samych jednostkach co dane wyjściowe i staje się intuicyjny: MAD to po prostu typowa odległość między daną a średnią.

Jak to działa?

Średnie odchylenie bezwzględne to średnia z bezwzględnych różnic między każdą wartością a średnią:

gdzie $\bar{x}$ to średnia danych, a $n$ to liczba wartości. Obliczenia przebiegają w trzech krokach:

1. Znajdź średnią, dodając wszystkie wartości i dzieląc przez ich liczbę.
2. Znajdź każde odchylenie bezwzględne, odejmując średnią od każdej wartości i odrzucając znak za pomocą wartości bezwzględnej.
3. Uśrednij te odchylenia bezwzględne, dodając je i dzieląc przez $n$.

Wzięcie wartości bezwzględnej w kroku 2 jest tym, co odróżnia MAD od naiwnego średniego odchylenia: bez niej dodatnie i ujemne odchylenia zawsze znosiłyby się do zera.

Rozwiązane przykłady

Rozważmy zbiór danych $1, 2, 3, 4, 5$, który ma $n = 5$ wartości.

Najpierw średnia:

Następnie odchylenia bezwzględne od średniej $3$ to $2, 1, 0, 1, 2$, których suma wynosi $6$. Średnie odchylenie bezwzględne wynosi:

Dla zbioru $2, 2, 4, 4$ średnia wynosi $3$, odchylenia bezwzględne to $1, 1, 1, 1$, a zatem:

Gdy każda wartość jest identyczna, jak $10, 10, 10$, średnia wynosi $10$, każde odchylenie wynosi $0$, a średnie odchylenie bezwzględne wynosi $0$ — nie ma żadnego rozproszenia.

Uwagi praktyczne

Średnie odchylenie bezwzględne jest popularne, gdy potrzebujesz miary zmienności łatwej do wyjaśnienia i odpornej na nadmierny wpływ wartości skrajnych. Ponieważ nie podnosi odchyleń do kwadratu, pojedynczy odległy punkt podnosi MAD słabiej niż podnosi odchylenie standardowe, co czyni MAD bardziej odpornym podsumowaniem typowego rozproszenia.

Łączy się ono naturalnie ze średnią, która dostarcza wartość centralną, względem której mierzy się odchylenia, oraz ze średnią, medianą i modą dla pełniejszego obrazu środka i kształtu zbioru danych. MAD nigdy nie może być ujemne i jest zerowe tylko wtedy, gdy każda wartość równa się średniej.