Kalkulator odchylenia standardowego

Czym jest kalkulator odchylenia standardowego?

Kalkulator odchylenia standardowego mierzy, jak bardzo zbiór liczb jest rozproszony wokół swojej średniej. Wprowadź swoje dane, a kalkulator natychmiast poda liczebność, średnią, wariancję i odchylenie standardowe — zarówno dla interpretacji populacyjnej, jak i dla interpretacji próby twoich danych. Małe odchylenie standardowe oznacza, że wartości skupiają się ciasno wokół średniej; duże oznacza, że są szeroko rozrzucone.

Odchylenie standardowe jest jedną z najczęściej używanych miar rozproszenia w statystyce. Pojawia się wszędzie, od kontroli jakości i finansów (gdzie często nazywa się je zmiennością) po analizę wyników testów i badania naukowe, ponieważ wyraża zmienność w tych samych jednostkach co dane wyjściowe.

Populacja a próba

Istnieją dwie ściśle powiązane wersje wariancji i odchylenia standardowego, a wybór właściwej ma znaczenie.

• Statystyki populacji opisują kompletny zbiór danych — uwzględniony jest każdy element, który cię interesuje. Wariancja populacji dzieli sumę kwadratów odchyleń przez liczebność $N$, a jej symbole to $\sigma^2$ (wariancja) i $\sigma$ (odchylenie standardowe).
• Statystyki próby opisują mniejszy podzbiór wylosowany z większej populacji, a ty chcesz oszacować rozproszenie całej tej populacji na podstawie próby. Wariancja próby dzieli przez $n - 1$ zamiast przez $n$ (jest to znane jako poprawka Bessela), co koryguje obciążenie wynikające z użycia średniej z próby zamiast nieznanej prawdziwej średniej. Jej symbole to $s^2$ (wariancja) i $s$ (odchylenie standardowe).

Ponieważ dzielenie przez mniejsze $n - 1$ daje nieco większy wynik, odchylenie standardowe próby jest dla tych samych danych zawsze większe lub równe odchyleniu standardowemu populacji. Wersja próby wymaga co najmniej dwóch danych; przy pojedynczej wartości nie ma rozproszenia do oszacowania.

Jak to działa?

Odchylenie standardowe populacji to pierwiastek kwadratowy ze średniej kwadratu odległości każdej wartości od średniej:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$$

gdzie $\mu$ to średnia populacji, a $N$ to liczba wartości. Odchylenie standardowe próby używa średniej z próby $\bar{x}$ i dzieli przez $n - 1$:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

Obliczenia przebiegają w czterech krokach:

1. Znajdź średnią, dodając wszystkie wartości i dzieląc przez ich liczbę.
2. Znajdź każde odchylenie, odejmując średnią od każdej wartości.
3. Podnieś każde odchylenie do kwadratu i dodaj kwadraty do siebie.
4. Podziel przez $N$ (populacja) lub $n - 1$ (próba), a następnie weź pierwiastek kwadratowy, aby otrzymać odchylenie standardowe. Pominięcie pierwiastka kwadratowego pozostawia wariancję.

Rozwiązany przykład

Rozważmy zbiór danych $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, który ma $N = 8$ wartości.

Najpierw średnia:

$$\mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

Następnie kwadraty odchyleń od średniej $5$ to $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$, których suma wynosi $32$. Wariancja i odchylenie standardowe populacji wynoszą:

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4 \qquad \sigma = \sqrt{4} = 2$$

Traktując te same liczby jako próbę, podziel sumę kwadratów przez $n - 1 = 7$:

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.5714 \qquad s = \sqrt{4.5714} \approx 2.1381$$

Zgodnie z oczekiwaniami odchylenie standardowe próby $2.1381$ jest większe niż odchylenie standardowe populacji $2$.

Dla mniejszego zbioru, takiego jak $1, 2, 3, 4, 5$, średnia wynosi $3$, suma kwadratów odchyleń wynosi $10$, odchylenie standardowe populacji to $\sqrt{2} \approx 1.4142$, a odchylenie standardowe próby to $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$.

Uwagi praktyczne

Użyj wzoru dla populacji, gdy twoje liczby reprezentują całą grupę, którą analizujesz — na przykład wyniki testu każdego ucznia w jednej klasie, gdy ta klasa jest wszystkim, co cię interesuje. Użyj wzoru dla próby, gdy twoje liczby są podzbiorem służącym do wnioskowania o większej grupie, co jest częstym przypadkiem w ankietach, eksperymentach i większości statystyk z prawdziwego świata.

Odchylenie standardowe naturalnie łączy się ze średnią oraz z estymacjami przedziałowymi, takimi jak przedział ufności, który wykorzystuje odchylenie standardowe i liczebność próby do ograniczenia prawdziwej średniej. Leży ono również u podstaw wartości krytycznych używanych w testowaniu hipotez.

Często zadawane pytania

Jaka jest różnica między wariancją a odchyleniem standardowym?

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej, wyrażona w jednostkach do kwadratu. Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji, który sprowadza miarę z powrotem do oryginalnych jednostek danych i ułatwia jej interpretację.

Czy powinienem użyć odchylenia standardowego populacji czy próby?

Użyj wersji dla populacji ($\sigma$, dzielenie przez $N$), gdy twoje dane obejmują całą interesującą grupę. Użyj wersji dla próby ($s$, dzielenie przez $n - 1$), gdy twoje dane są próbą z większej populacji i chcesz uzyskać nieobciążone oszacowanie rozproszenia tej populacji.

Czy odchylenie standardowe może być zerowe lub ujemne?

Może być zerowe, co zdarza się tylko wtedy, gdy każda wartość w zbiorze danych jest identyczna — nie ma rozproszenia. Nigdy nie może być ujemne, ponieważ jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów (nieujemnych) wyrazów.