Kalkulator wartości krytycznej

Czym jest wartość krytyczna?

Wartość krytyczna to punkt odcięcia, który oddziela wartości statystyki testowej prowadzące do odrzucenia hipotezy zerowej od tych, które do tego nie prowadzą. Po wybraniu poziomu istotności i kierunku testu wartość krytyczna wyznacza granicę obszaru odrzucenia. Jeśli obliczona statystyka wykracza poza tę granicę, wynik jest istotny statystycznie na wybranym poziomie.

Ten kalkulator zwraca wartość krytyczną dla czterech rozkładów najczęściej spotykanych w testowaniu hipotez: standardowego normalnego (Z), t-Studenta, chi-kwadrat i F. Wybierz rozkład, typ testu (dwustronny, prawostronny lub lewostronny), poziom istotności oraz liczbę stopni swobody, jeśli rozkład jej wymaga.

Jak działa kalkulator?

Każda wartość krytyczna jest kwantylem dystrybuanty danego rozkładu. Jeśli $F$ jest dystrybuantą wybranego rozkładu, funkcja kwantylowa (odwrotna) $F^{-1}$ zamienia prawdopodobieństwo z powrotem na wartość położoną przy tym prawdopodobieństwie. Kalkulator oblicza $F^{-1}$ dla prawdopodobieństwa wyznaczonego przez Twój poziom istotności $\alpha$ i kierunek testu.

Dla rozkładu symetrycznego, takiego jak Z lub t, trzy typy testu odpowiadają następującym prawdopodobieństwom:

Rozkłady chi-kwadrat i F nie są symetryczne, więc test dwustronny daje dwie różne granice, dolną i górną:

Obliczanie kwantyli

Kwantyl standardowego rozkładu normalnego $\Phi^{-1}$ nie ma postaci zamkniętej, dlatego kalkulator stosuje przybliżenie wymierne (metoda Acklama), udoskonalone krokiem Halleya, co daje odwrotny rozkład normalny w pełnej podwójnej precyzji. Kwantyle t, chi-kwadrat i F znajdowane są przez numeryczne odwracanie ich dystrybuant, zbudowanych z regularyzowanych niezupełnych funkcji beta i gamma.

Rozwiązane przykłady

1. Z, dwustronny, $\alpha = 0.05$. Rozdziel poziom istotności na oba ogony i oblicz kwantyl normalny w $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ Obszar odrzucenia to wszystko poniżej $-1.96$ lub powyżej $1.96$.

2. Z, prawostronny, $\alpha = 0.05$. Pojedynczy górny ogon: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, prawostronny, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Oblicz kwantyl t w $0.95$ przy 15 stopniach swobody: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ Obszar odrzucenia to $(1.7531, \infty)$.

4. t, dwustronny, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Oblicz w $0.975$: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Chi-kwadrat, dwustronny, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Granica dolna i górna pochodzą z $0.025$ i $0.975$: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, prawostronny, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. Przy 5 stopniach swobody licznika i 10 mianownika: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Uwagi praktyczne

• Poziom istotności $\alpha$ musi leżeć ściśle między $0$ a $1$. Typowe wybory to $0.10$, $0.05$ i $0.01$.
• Stosuj rozkład Z, gdy odchylenie standardowe populacji jest znane lub próba jest duża; przejdź na rozkład t dla małych prób z oszacowanym odchyleniem standardowym.
• Rozkład chi-kwadrat służy do testów wariancji i dopasowania, a rozkład F do porównywania dwóch wariancji lub do analizy wariancji.
• Stopnie swobody kształtują rozkłady t, chi-kwadrat i F. W miarę wzrostu stopni swobody rozkładu t jego wartości krytyczne zbliżają się do odpowiadających im wartości Z.

Najczęściej zadawane pytania

Jaka jest różnica między jednostronną a dwustronną wartością krytyczną?

Test jednostronny umieszcza cały obszar odrzucenia w jednym ogonie, więc używa $F^{-1}(1 - \alpha)$ (prawy) lub $F^{-1}(\alpha)$ (lewy). Test dwustronny rozdziela $\alpha$ na oba ogony, odsuwając każdą wartość krytyczną dalej od środka.

Dlaczego wartość krytyczna chi-kwadrat potrzebuje stopni swobody?

Rozkład chi-kwadrat zmienia kształt wraz ze stopniami swobody, więc ten sam poziom istotności odpowiada różnym punktom odcięcia dla różnych stopni swobody. To samo dotyczy rozkładów t i F.

Jak wartość krytyczna ma się do wartości p?

To dwie strony tej samej decyzji. Odrzucasz hipotezę zerową, gdy statystyka testowa przekracza wartość krytyczną, co następuje dokładnie wtedy, gdy wartość p jest mniejsza od $\alpha$.

Czy wartość krytyczna może być ujemna?

Tak. Lewostronna wartość krytyczna Z lub t jest ujemna, ponieważ leży w dolnym ogonie. Wartości chi-kwadrat i F są zawsze nieujemne, gdyż rozkłady te są określone tylko dla liczb nieujemnych.