Kalkulator statystyki t

Czym jest statystyka t?

Statystyka t mierzy, jak bardzo średnia z próby odbiega od zakładanej średniej populacji, przeskalowana przez zmienność samej próby. Jest sercem testu t dla jednej próby: zbierasz próbę, porównujesz jej średnią z wartością docelową, a statystyka t pokazuje, jak zaskakująca jest ta różnica w jednostkach błędu standardowego. Statystyka t bliska 0 oznacza, że średnia z próby jest zbliżona do średniej populacji; duża wartość dodatnia lub ujemna oznacza, że próba jest od niej oddalona.

Statystyka t jest ściśle związana z wynikiem Z, ale używa odchylenia standardowego z próby zamiast znanego odchylenia standardowego populacji. Właśnie to podstawienie jest powodem istnienia rozkładu t: ma on nieco cięższe ogony niż rozkład normalny, aby uwzględnić dodatkową niepewność związaną z szacowaniem rozproszenia na podstawie małej próby.

Jak działa kalkulator?

Wprowadź średnią z próby, średnią populacji, z którą porównujesz, odchylenie standardowe z próby oraz liczebność próby. Kalkulator zwraca statystykę t dla jednej próby:

Gdzie:

• x̄ to średnia z próby.
• μ₀ to średnia populacji podana w hipotezie zerowej.
• s to odchylenie standardowe z próby, które musi być większe od zera.
• n to liczebność próby, która musi wynosić co najmniej jeden.

Mianownik s / √n to błąd standardowy średniej — typowa odległość między średnią z próby a prawdziwą średnią. Podzielenie surowej różnicy przez błąd standardowy zamienia ją w bezwymiarową statystykę testową, którą można porównać z rozkładem t o n − 1 stopniach swobody.

Przykłady rozwiązane

1. Próba powyżej wartości docelowej. Próba o liczebności n = 25 ma średnią x̄ = 130 wobec średniej populacji μ₀ = 120, przy odchyleniu standardowym z próby s = 15. $t = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{25}} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$ Średnia z próby leży około 3,33 błędu standardowego powyżej zakładanej średniej.

2. Niewielkie dodatnie przesunięcie. Dla x̄ = 10.5, μ₀ = 10, s = 2 i n = 16: $t = \frac{10.5 - 10}{2 / \sqrt{16}} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ Średnia z próby leży dokładnie jeden błąd standardowy powyżej wartości docelowej.

3. Próba poniżej wartości docelowej. Dla x̄ = 98, μ₀ = 100, s = 5 i n = 25: $t = \frac{98 - 100}{5 / \sqrt{25}} = \frac{-2}{1} = -2$ Znak ujemny pokazuje, że średnia z próby leży dwa błędy standardowe poniżej zakładanej średniej.

Uwagi praktyczne

• Odchylenie standardowe z próby musi być dodatnie. Wartość zero oznaczałaby, że dane nie mają rozproszenia, co czyniłoby błąd standardowy — i statystykę t — nieokreślonymi.
• Aby ocenić istotność, porównaj statystykę t z wartością krytyczną rozkładu t o n − 1 stopniach swobody lub przelicz ją na wartość p.
• Dla dużych prób rozkład t zbiega do rozkładu normalnego, więc statystyka t i wynik Z stają się niemal identyczne.
• Użyj tego wzoru dla jednej próby, gdy porównujesz pojedynczą średnią z próby z ustaloną wartością odniesienia; test dla dwóch prób używa innego mianownika.

FAQ

Czy statystyka t może być ujemna?

Tak. Ujemna statystyka t oznacza po prostu, że średnia z próby jest niższa od średniej populacji, z którą porównujesz. Znak wskazuje kierunek, a wartość bezwzględna — odległość w jednostkach błędu standardowego.

Jaka jest różnica między statystyką t a wynikiem Z?

Obie mierzą odległość od wartości odniesienia, ale wynik Z dzieli przez znane odchylenie standardowe populacji, podczas gdy statystyka t dzieli przez błąd standardowy zbudowany z odchylenia standardowego z próby. Statystyka t jest właściwym wyborem, gdy odchylenie standardowe populacji jest nieznane. Zobacz kalkulator wyniku Z dla przypadku ze znanym odchyleniem standardowym populacji.

Czym są stopnie swobody?

Dla testu t dla jednej próby stopnie swobody są równe n − 1. Opisują kształt rozkładu t, z którym porównujesz statystykę: mniej stopni swobody daje cięższe ogony i bardziej konserwatywny test.

Dlaczego odchylenie standardowe z próby musi być większe od zera?

Wzór dzieli przez błąd standardowy s / √n. Gdyby s było zerem, dzielenie byłoby nieokreślone, a próba bez zmienności nie może stanowić podstawy sensownego testu.