Calculadora de comprimento da corda

O que é uma calculadora de comprimento da corda?

Uma corda é um segmento de reta cujas duas extremidades estão sobre um círculo. A corda mais longa de um círculo é o seu diâmetro; todas as outras cordas são mais curtas e são “subtendidas” por algum ângulo central — o ângulo formado no centro pelos dois raios traçados até as extremidades da corda.

Esta calculadora encontra qualquer um dos três valores — comprimento da corda, raio ou ângulo central — quando os outros dois são conhecidos. O ângulo pode ser inserido em graus ou radianos, e o raio e a corda podem ser inseridos em qualquer unidade de medida de comprimento comum.

Conceitos chave

• Raio (r) — a distância do centro do círculo até um ponto em sua borda.
• Ângulo central (θ) — o ângulo formado no centro do círculo pelos dois raios traçados até as extremidades da corda.
• Corda (c) — a distância em linha reta entre as duas extremidades do arco, cortando o círculo em vez de seguir sua curva.
• Diâmetro — o caso especial de uma corda que passa pelo centro. Tem comprimento $2r$ e corresponde a um ângulo central de 180°.

A corda e o comprimento do arco descrevem o mesmo par de extremidades sob duas perspectivas diferentes: a corda é o atalho em linha reta, o arco é o caminho ao longo do círculo.

Como funciona a calculadora?

A corda, os dois raios traçados até suas extremidades e a perpendicular baixada a partir do centro formam dois triângulos retângulos congruentes. A metade da corda, o raio e a metade do ângulo central satisfazem

que se rearranja nas fórmulas utilizadas pela calculadora.

Fórmulas

Corda a partir do raio e do ângulo central:

Raio a partir da corda e do ângulo central:

Ângulo central a partir da corda e do raio:

Em graus, substitua $\theta$ por $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$, ou leia o ângulo diretamente da calculadora depois de alternar o seletor de unidades.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: corda a partir do raio e do ângulo

Um círculo tem raio de 10 cm e um ângulo central de 60°. A corda definida por esse ângulo é

Esta é a identidade conhecida segundo a qual a corda de um ângulo de 60° é igual ao raio — o triângulo formado é equilátero.

Exemplo 2: corda igual ao diâmetro a 180°

Para um raio de 5 m e um ângulo central de 180° (ou $\pi$ radianos), a corda atravessa todo o círculo:

Este é o diâmetro do círculo.

Exemplo 3: raio a partir da corda e do ângulo

Uma corda de 10 cm de comprimento é definida por um ângulo central de 60°. O raio do círculo é

Exemplo 4: ângulo a partir da corda e do raio

Uma corda de 10 cm é traçada em um círculo de raio 10 cm. O ângulo central é

Exemplo 5: corda de um quarto de círculo

Para um ângulo de 90° em um círculo de raio 1, a corda é $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$, enquanto o comprimento do arco do mesmo ângulo é $\pi/2 \approx 1.5708$. O arco é sempre ligeiramente mais longo do que a corda.

Usos práticos

• Engenharia — traçado de correias e polias, em que a distância em linha reta entre os pontos de contato em duas rodas é uma corda de cada roda.
• Arquitetura e carpintaria — medição da extensão de um arco ou de uma janela curva, em que a corda fornece o vão e o comprimento do arco fornece o material necessário ao longo da curva.
• Topografia — fixação de posições no terreno a partir de pontos circulares de referência; as medidas de corda são mais fáceis de marcar do que os arcos.
• Astronomia — cálculo do diâmetro aparente de corpos distantes, em que a corda que atravessa uma seção transversal circular corresponde à extensão observada.
• Geometria e trigonometria — a relação corda/ângulo é uma das definições originais da função seno e ainda aparece nos cálculos de setor circular e de segmento.

Notas

• A corda nunca pode ser maior do que o diâmetro ($c \le 2r$). Se você inserir uma corda maior do que isso, o ângulo fica indefinido e a calculadora não retorna resultado.
• Um ângulo de 0° resulta em uma corda de 0 — as extremidades coincidem.
• Um ângulo de 180° fornece o diâmetro; ângulos maiores que 180° dão a mesma corda que seu suplemento (por exemplo, 200° e 160° produzem cordas idênticas).
• Ao resolver o raio a partir de uma corda e de um ângulo, o ângulo não pode ser 0; ao resolver o ângulo, o raio não pode ser 0.
• O raio e a corda compartilham as unidades: alternar o seletor de unidades reconverte o resultado automaticamente.