Calculadora de produto vetorial

O que é uma calculadora de produto vetorial?

Uma calculadora de produto vetorial encontra o vetor que resulta da multiplicação de dois vetores tridimensionais usando o produto vetorial (ou cruzado). Diferentemente do produto escalar, que retorna um único número, o produto vetorial retorna um novo vetor. Esse vetor é perpendicular a ambos os vetores originais e seu comprimento é igual à área do paralelogramo que eles geram.

Dados dois vetores $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ e $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$, esta ferramenta retorna as três componentes de $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Fórmula

O produto vetorial é definido componente por componente como:

Portanto, as três componentes de saída são:

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

Como usar

1. Insira as três componentes do vetor $\mathbf{a}$: $a_x$, $a_y$ e $a_z$.
2. Insira as três componentes do vetor $\mathbf{b}$: $b_x$, $b_y$ e $b_z$.
3. Uma vez preenchidos os seis valores, a calculadora exibe $c_x$, $c_y$ e $c_z$ — as componentes do vetor resultante $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Entradas negativas são totalmente aceitas. A ordem importa: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$, então trocar os dois vetores inverte o sinal de cada componente.

Exemplo resolvido

Tome $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ e $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

Portanto, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$.

FAQ

Por que o produto vetorial é um vetor enquanto o produto escalar é um número?

O produto escalar mede o quanto dois vetores apontam na mesma direção, o que é uma única quantidade escalar. O produto vetorial, por sua vez, mede a área orientada que eles geram e aponta em uma direção perpendicular a ambos, portanto naturalmente precisa de três componentes para descrever tanto essa magnitude quanto essa direção.

O que significa se o produto vetorial é o vetor nulo?

Se $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$, os dois vetores são paralelos (ou um deles é o vetor nulo). Vetores paralelos não geram área, portanto o resultado perpendicular se reduz a nada.