Calculadora de regras de divisibilidade

O que é uma calculadora de regras de divisibilidade?

Uma calculadora de regras de divisibilidade recebe um único número inteiro $N$ e informa, num relance, por quais divisores pequenos ele é divisível. Esta ferramenta verifica cada divisor de 2 a 12 e responde Sim ou Não para cada um. Um número é divisível por $d$ quando a divisão não deixa resto — ou seja, quando $N$ pode ser escrito como $d$ multiplicado por outro número inteiro.

A divisibilidade é uma das ideias mais úteis da aritmética. Ela permite simplificar frações, encontrar fatores comuns, identificar números primos e repartir quantidades em grupos iguais sem fazer uma divisão longa de cada vez.

O que significa “divisível”?

Dizemos que $N$ é divisível por $d$ quando o resto da divisão é zero:

$$N \bmod d = 0$$

De forma equivalente, existe um número inteiro $k$ tal que:

$$N = d \times k$$

Por exemplo, 60 é divisível por 12 porque $60 = 12 \times 5$, sem deixar resto. Em contrapartida, 60 não é divisível por 7, porque $60 = 7 \times 8 + 4$ — sobra um resto de 4.

Como $0 \bmod d = 0$ para todo $d$ diferente de zero, o número 0 é divisível por todos os divisores. A calculadora trata 0 como uma entrada válida e responde Sim em toda a grade.

Como funciona a calculadora?

Você digita um número inteiro e a calculadora aplica uma regra de divisibilidade conhecida para cada divisor de 2 a 12. Cada regra é um atalho que evita a divisão completa observando apenas os algarismos do número.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando é par — seu último algarismo é 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo: 60 termina em 0, então é divisível por 2.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Para 60: $6 + 0 = 6$, e 6 é divisível por 3, então 60 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Para 60, os dois últimos algarismos formam 60, e $60 = 4 \times 15$, então 60 é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo é 0 ou 5. Exemplo: 60 termina em 0, então é divisível por 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível tanto por 2 quanto por 3. Como 60 passa nos testes de 2 e 3, é divisível por 6.

Divisibilidade por 7

Pegue o último algarismo, dobre-o e subtraia-o do restante do número. Se o resultado for divisível por 7, o original também é. Para 91: remova o 1, dobre-o para obter 2, depois $9 - 2 = 7$. Como 7 é divisível por 7, 91 também é — de fato $91 = 7 \times 13$.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. Para números com menos de três algarismos, basta verificar o número inteiro.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Para 60: $6 + 0 = 6$, que não é divisível por 9, então 60 não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando seu último algarismo é 0. Exemplo: 60 termina em 0, então é divisível por 10.

Divisibilidade por 11

Some e subtraia os algarismos em um padrão alternado (da direita para a esquerda) e verifique se o resultado é divisível por 11 (zero conta como divisível). Para 121: $1 - 2 + 1 = 0$, então 121 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível tanto por 3 quanto por 4. Como 60 passa nos testes de 3 e 4, é divisível por 12.

Fórmula

O teste geral para qualquer divisor $d$ baseia-se na operação módulo (resto):

$$N \text{ is divisible by } d \iff N \bmod d = 0$$

Muitas regras se apoiam no fato de que um número é congruente a uma combinação simples dos seus algarismos. Para as regras da soma dos algarismos (3 e 9), se $N$ tem algarismos $a_i$, então:

$$N \equiv \sum_i a_i \pmod{9}$$

de modo que $N$ é divisível por 3 ou por 9 exatamente quando sua soma dos algarismos o é. Para 11, aplica-se a soma alternada porque $10 \equiv -1 \pmod{11}$:

$$N \equiv \sum_i (-1)^i a_i \pmod{11}$$

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: N = 60

• Divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 10 e 12 → Sim
• Divisível por 7, 8, 9 e 11 → Não

O número 60 é altamente composto, que é exatamente a razão pela qual calendários, relógios e sistemas de medida o preferem: ele se divide de forma exata em metades, terços, quartos, quintos, sextos e doze avos.

Exemplo 2: N = 91

• Divisível por 7 → Sim (porque $91 = 7 \times 13$)
• Divisível por 2 → Não (91 é ímpar)
• Divisível por 3 → Não (a soma dos algarismos $9 + 1 = 10$ não é divisível por 3)

Exemplo 3: N = 0

Zero é divisível por todos os divisores, já que $0 \bmod d = 0$ para cada $d$. A calculadora responde Sim para todos os números de 2 a 12.

Notas práticas

• As regras se aplicam a números inteiros. Números negativos seguem as mesmas regras que seus valores absolutos — por exemplo, −60 se comporta como 60.
• As regras de divisibilidade são a forma mais rápida de reduzir uma fração à sua forma mais simples: encontre um divisor que divida tanto o numerador quanto o denominador, e cancele-o.
• Para encontrar todos os divisores de um número em vez de verificar apenas de 2 a 12, use a Calculadora de fatores.
• Para combinar vários números, a Calculadora de mínimo múltiplo comum e a Calculadora de máximo divisor comum baseiam-se diretamente na divisibilidade.

Perguntas frequentes

Todo número é divisível por 1?

Sim. Todo número inteiro é divisível por 1 e por si mesmo, razão pela qual a grade de divisibilidade começa em 2 — o primeiro divisor não trivial.

Por que 0 é divisível por todos os números?

Porque $0 \bmod d = 0$ para cada divisor $d$ diferente de zero: dividir 0 por qualquer número não deixa resto. Observe que a divisão por 0 é indefinida, razão pela qual 0 nunca aparece como divisor.

Existe uma única regra para a divisibilidade por 6 ou 12?

Não há um truque de algarismos próprio — combinam-se regras mais simples. Um número é divisível por 6 quando passa tanto no teste do 2 quanto no do 3, e divisível por 12 quando passa tanto no teste do 3 quanto no do 4.