Calculadora de MDC (Máximo Divisor Comum)

O que é o máximo divisor comum?

O máximo divisor comum (MDC), também chamado de maior fator comum, é o maior número inteiro positivo que divide todos os números de um conjunto dado sem deixar resto. Por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6, porque 6 é o maior número que divide exatamente tanto 12 quanto 18.

Esta calculadora encontra o MDC de dois ou mais números inteiros positivos. Como bônus, ela também informa o mínimo múltiplo comum (MMC): o menor número inteiro positivo que é múltiplo de todos os números do conjunto.

Como a calculadora funciona?

Insira seus números nas linhas repetíveis — adicione quantas precisar. A calculadora ignora as linhas em branco e exige pelo menos dois números para produzir um resultado. Em seguida, aplica o algoritmo de Euclides a toda a lista para obter o MDC e usa esse resultado para calcular o MMC.

O algoritmo de Euclides encontra o MDC de dois números substituindo repetidamente o número maior pelo resto da divisão do maior pelo menor, até que o resto seja zero. O último valor diferente de zero é o MDC. Para tratar uma lista inteira, o MDC é calculado aos pares: mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c), e assim por diante.

Fórmulas

O MDC de uma lista de números é calculado dobrando o MDC aos pares:

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

O MMC de dois números decorre diretamente do seu MDC:

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

Exemplos resolvidos

1. Dois números: $\gcd(12, 18) = 6$ e $\text{lcm}(12, 18) = 36$. Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6, 12 e os de 18 são 1, 2, 3, 6, 9, 18; o maior divisor que compartilham é 6.

2. Três números: $\gcd(8, 12, 16) = 4$. Cada um de 8, 12 e 16 é divisível por 4, e nada maior divide os três.

3. Números coprimos: $\gcd(7, 13) = 1$. Tanto 7 quanto 13 são primos, então não compartilham nenhum divisor comum além de 1 — são coprimos.

4. Conjunto maior: $\gcd(100, 75, 50) = 25$. O número 25 divide os três, enquanto 50 não divide 75.

Notas práticas

• Simplificar frações: Dividir o numerador e o denominador pelo seu MDC reduz uma fração à sua forma irredutível. Veja a calculadora de simplificação de frações.
• Somar frações: O MMC dos denominadores fornece o menor denominador comum, o que facilita a soma de frações — útil junto com a calculadora de adição.
• Apenas números inteiros positivos: O MDC é definido para números inteiros. Decimais e sinais negativos não fazem sentido aqui, portanto entradas não inteiras não são esperadas.
• mdc(a, 0) = a: Por convenção, o máximo divisor comum de qualquer número e zero é o próprio número, o que mantém o cálculo bem definido quando aparecem zeros.