Calculadora da proporção áurea

O que é uma calculadora da proporção áurea?

Uma calculadora da proporção áurea divide um único comprimento em duas partes de modo que fiquem entre si na proporção áurea. Insira um comprimento total e a ferramenta devolve o segmento maior $a$ e o segmento menor $b$ que juntos formam uma secção áurea da linha.

A proporção áurea, escrita com a letra grega phi, é uma das constantes mais famosas da matemática e do design. Aparece na geometria, na arte, na arquitetura e até nas proporções de objetos naturais, como conchas e capítulos florais. O seu valor é:

Como funciona?

Duas partes de uma linha estão na proporção áurea quando a razão do todo para a parte maior é igual à razão da parte maior para a parte menor. Se o comprimento total é $L$, o segmento maior é $a$ e o segmento menor é $b$, então:

Resolver para os dois segmentos em função do comprimento total $L$ dá:

O segmento maior é simplesmente o comprimento total dividido por phi, e o segmento menor é o que resta. Como as duas partes voltam a somar o comprimento original, tem-se sempre $a + b = L$.

Uma propriedade útil é que a mesma constante relaciona os segmentos em ambas as direções: o comprimento total é $\varphi$ vezes a parte maior, e a parte maior é $\varphi$ vezes a parte menor.

Exemplos

Exemplo 1: um comprimento de 100

Dividir um comprimento de 100 unidades na proporção áurea:

Verificar a razão confirma o resultado, uma vez que $61.8034 \div 38.1966 \approx 1.618$.

Exemplo 2: um comprimento de 10

Para um comprimento total de 10 unidades:

Novamente, a parte maior dividida pela parte menor recupera phi, e as duas partes somam-se de volta a 10.

Notas práticas

Designers e fotógrafos usam secções áureas para posicionar pontos focais e dimensionar elementos num layout, já que as proporções baseadas em phi são frequentemente percebidas como equilibradas e agradáveis. Na geometria, a proporção áurea aparece nas diagonais de um pentágono regular e na construção de pentagramas, razão pela qual surge tão frequentemente ao trabalhar com simetria de cinco lados.

Quando conhece apenas o segmento maior em vez do comprimento total, multiplique-o por phi para recuperar o todo, ou divida-o por phi para encontrar a parte menor. Seja qual for o valor de partida, a calculadora mantém intacta a relação $\frac{a}{b} = \varphi$.