Calculadora de octógono

O que é uma calculadora de octógono?

A calculadora de octógono é uma única ferramenta que descreve um octógono regular — a figura de oito lados com lados e ângulos iguais, o mesmo contorno de uma placa de pare. Insira uma medida e ela retorna todas as outras grandezas de uma vez: o comprimento do lado, a área, o perímetro, as três diagonais, o raio circunscrito e o raio inscrito. É útil para estudantes que conferem tarefas de geometria, para fabricantes que cortam uma moldura octogonal ou um tampo de mesa, e para qualquer pessoa que projete um coreto, um padrão de pavimentação ou uma placa.

Propriedades de um octógono regular

Um octógono regular tem oito lados iguais e oito ângulos internos de 135 graus cada. Como os oito vértices não estão todos à mesma distância, um octógono tem três diagonais distintas em vez das duas de um hexágono:

• Diagonal mais longa une dois vértices opostos e passa pelo centro; é a largura total da figura.
• Diagonal média une dois vértices com dois vértices entre eles.
• Diagonal mais curta une dois vértices que pulam um único vértice.

O raio circunscrito é a distância do centro a qualquer canto, e o raio inscrito (também chamado de apótema) é a distância do centro ao ponto médio de qualquer lado.

Como funciona a calculadora?

Digite um valor em qualquer campo e a calculadora primeiro recupera o comprimento do lado a partir dele e, em seguida, preenche todas as propriedades restantes. Assim, você pode começar pelo lado, pela área, pelo perímetro, por qualquer uma das três diagonais, pelo raio circunscrito ou pelo raio inscrito, e sempre obterá uma descrição completa do octógono. Cada campo de comprimento aceita unidades diferentes, e as conversões entre elas acontecem automaticamente.

Fórmulas

Com comprimento do lado $a$, a área de um octógono regular é:

O perímetro é oito vezes o lado:

As três diagonais — a mais longa $D$, a média $M$ e a mais curta $d$ — são:

O raio circunscrito $R$ é metade da diagonal mais longa, e o raio inscrito $r$ (a apótema) é metade da diagonal média:

onde $A$ é a área, $P$ o perímetro, $D$, $M$ e $d$ as diagonais mais longa, média e mais curta, $R$ o raio circunscrito, $r$ o raio inscrito e $a$ o comprimento do lado.

Exemplos

1. Um octógono regular com um lado de 5 cm:

2. Trabalhando de trás para frente a partir de um perímetro de 40 cm, o lado é $40 / 8 = 5$ cm, o que reproduz todos os valores acima.

Notas práticas

• A diagonal mais longa é a extensão total ao longo de um octógono de lados planos, portanto é o diâmetro do menor círculo que contém a figura; o raio circunscrito é exatamente metade dela.
• O raio inscrito é a apótema — o raio do maior círculo que cabe dentro do octógono — e é útil ao ajustar um octógono em torno de um objeto redondo.
• Para figuras com um número diferente de lados, a calculadora de área de polígono regular generaliza a fórmula da área, e a calculadora de hexágono trata do caso de seis lados.

Perguntas frequentes

Como encontro a área de um octógono regular?

Eleve o comprimento do lado ao quadrado e multiplique por $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$. Para um lado de 5, a área é $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$.

Qual é a diferença entre as três diagonais?

A diagonal mais longa une vértices opostos e passa pelo centro, igual a $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$. A diagonal média pula dois vértices e é igual a $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$. A diagonal mais curta pula um vértice e é igual a $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

O que é a apótema de um octógono?

A apótema é o raio inscrito — a distância do centro ao meio de um lado. Para um octógono regular, é igual a $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$, cerca de 1,207 vezes o lado.

Qual é a largura de um octógono regular?

A largura entre lados opostos é o dobro do raio inscrito, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, que também é a diagonal média. A largura entre cantos opostos é a diagonal mais longa, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.